Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ditgeqiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgeqiooicc 38852
 Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgeqiooicc.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
ditgeqiooicc.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4 (𝜑𝐴𝐵)
ditgeqiooicc.5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
ditgeqiooicc (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ditgeqiooicc
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12130 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21sseli 3564 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
32adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 ditgeqiooicc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
75rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ditgeqiooicc.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 elioo2 12087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
127, 10, 11syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
136, 12mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
1413simp2d 1067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
155, 14gtned 10051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐴)
1615neneqd 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
1716iffalsed 4047 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
1813simp1d 1066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1913simp3d 1068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
2018, 19ltned 10052 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
2120neneqd 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
2221iffalsed 4047 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2317, 22eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
24 ditgeqiooicc.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2524fnvinran 38196 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2623, 25eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
27 ditgeqiooicc.1 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
2827fvmpt2 6200 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
293, 26, 28syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
3029, 17, 223eqtrrd 2649 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3130itgeq2dv 23354 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
32 ditgeqiooicc.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3332ditgpos 23426 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
3432ditgpos 23426 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
3531, 33, 343eqtr4d 2654 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑥) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  ∫citg 23193  ⨜cdit 23416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-sum 14265  df-itg 23198  df-ditg 23417 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator