MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioore Structured version   Unicode version

Theorem elioore 11555
Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elioore  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem elioore
StepHypRef Expression
1 elioo3g 11554 . 2  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  <->  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) ) )
2 3ancomb 982 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* ) )
3 xrre2 11367 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )  ->  A  e.  RR )
42, 3sylanb 472 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  ( B  <  A  /\  A  <  C ) )  ->  A  e.  RR )
51, 4sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( B (,) C )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   RR*cxr 9623    < clt 9624   (,)cioo 11525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-ioo 11529
This theorem is referenced by:  iooval2  11558  elioo4g  11581  ioossre  11582  tgioo  21036  zcld  21053  ioorcl2  21716  lhop2  22151  dvcvx  22156  pilem2  22581  pilem3  22582  pire  22585  tanrpcl  22630  tangtx  22631  tanabsge  22632  sinq34lt0t  22635  cosq14gt0  22636  sineq0  22647  cosne0  22650  tanord  22658  divlogrlim  22744  logno1  22745  logccv  22772  angpieqvd  22890  asinsin  22951  reasinsin  22955  scvxcvx  23043  basellem3  23084  basellem8  23089  vmalogdivsum2  23451  vmalogdivsum  23452  2vmadivsumlem  23453  selberg3lem1  23470  selberg3  23472  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  selberg3r  23482  selberg4r  23483  selberg34r  23484  pntrlog2bndlem1  23490  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem3  23492  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6a  23495  pntrlog2bndlem6  23496  pntpbnd  23501  pntibndlem3  23505  pntibnd  23506  tan2h  29624  dvtanlem  29641  itg2gt0cn  29647  itggt0cn  29664  ftc1cnnclem  29665  ftc1cnnc  29666  ftc1anclem7  29673  ftc1anclem8  29674  ftc1anc  29675  dvasin  29680  areacirclem1  29684  areacirc  29689  iooabslt  31096  iocopn  31124  iooshift  31126  icoopn  31129  islptre  31161  limciccioolb  31163  limcicciooub  31179  lptre2pt  31182  limcresiooub  31184  limcresioolb  31185  sinaover2ne0  31204  icccncfext  31226  cncfiooicclem1  31232  dvbdfbdioolem2  31259  itgcoscmulx  31287  iblcncfioo  31296  wallispilem1  31365  dirkeritg  31402  dirkercncflem1  31403  dirkercncflem2  31404  fourierdlem27  31434  fourierdlem28  31435  fourierdlem31  31438  fourierdlem32  31439  fourierdlem33  31440  fourierdlem39  31446  fourierdlem41  31448  fourierdlem47  31454  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem56  31463  fourierdlem57  31464  fourierdlem59  31466  fourierdlem60  31467  fourierdlem61  31468  fourierdlem62  31469  fourierdlem64  31471  fourierdlem68  31475  fourierdlem72  31479  fourierdlem73  31480  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem76  31483  fourierdlem81  31488  fourierdlem84  31491  fourierdlem89  31496  fourierdlem90  31497  fourierdlem91  31498  fourierdlem92  31499  fourierdlem93  31500  fourierdlem97  31504  fourierdlem100  31507  fourierdlem101  31508  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem111  31518  fourierdlem112  31519  sqwvfoura  31529  sqwvfourb  31530  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator