Theorem elioore 11562

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	|- ( A e. ( B (,) C ) -> A e. RR )

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 11561	. 2 |- ( A e. ( B (,) C ) <-> ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) )
2		3ancomb 980	. . 3 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) <-> ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) )
3		xrre2 11374	. . 3 |- ( ( ( B e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) -> A e. RR )
4	2, 3	sylanb 470	. 2 |- ( ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) /\ ( B < A /\ A < C ) ) -> A e. RR )
5	1, 4	sylbi 195	1 |- ( A e. ( B (,) C ) -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   RR*cxr 9616   < clt 9617   (,)cioo 11532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ioo 11536

This theorem is referenced by:  iooval2  11565  elioo4g  11588  ioossre  11589  tgioo  21467  zcld  21484  ioorcl2  22147  lhop2  22582  dvcvx  22587  pilem2  23013  pilem3  23014  pire  23017  tanrpcl  23063  tangtx  23064  tanabsge  23065  sinq34lt0t  23068  cosq14gt0  23069  sineq0  23080  cosne0  23083  tanord  23091  divlogrlim  23184  logno1  23185  logccv  23212  angpieqvd  23359  asinsin  23420  reasinsin  23424  scvxcvx  23513  basellem3  23554  basellem8  23559  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  selberg3lem1  23940  selberg3  23942  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6a  23965  pntrlog2bndlem6  23966  pntpbnd  23971  pntibndlem3  23975  pntibnd  23976  tan2h  30287  dvtanlem  30304  itg2gt0cn  30310  itggt0cn  30327  ftc1cnnclem  30328  ftc1cnnc  30329  ftc1anclem7  30336  ftc1anclem8  30337  ftc1anc  30338  dvasin  30343  areacirclem1  30347  areacirc  30352  cvgdvgrat  31435  iooabslt  31771  iocopn  31799  iooshift  31801  icoopn  31804  islptre  31864  limciccioolb  31866  limcicciooub  31882  lptre2pt  31885  limcresiooub  31887  limcresioolb  31888  sinaover2ne0  31907  icccncfext  31929  cncfiooicclem1  31935  dvbdfbdioolem2  31965  itgcoscmulx  32007  iblcncfioo  32016  wallispilem1  32086  dirkeritg  32123  dirkercncflem1  32124  dirkercncflem2  32125  fourierdlem27  32155  fourierdlem28  32156  fourierdlem31  32159  fourierdlem32  32160  fourierdlem33  32161  fourierdlem39  32167  fourierdlem40  32168  fourierdlem41  32169  fourierdlem47  32175  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem56  32184  fourierdlem57  32185  fourierdlem59  32187  fourierdlem60  32188  fourierdlem61  32189  fourierdlem62  32190  fourierdlem64  32192  fourierdlem68  32196  fourierdlem72  32200  fourierdlem73  32201  fourierdlem74  32202  fourierdlem75  32203  fourierdlem76  32204  fourierdlem78  32206  fourierdlem81  32209  fourierdlem84  32212  fourierdlem89  32217  fourierdlem90  32218  fourierdlem91  32219  fourierdlem92  32220  fourierdlem93  32221  fourierdlem97  32225  fourierdlem100  32228  fourierdlem101  32229  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  fourierdlem111  32239  fourierdlem112  32240  sqwvfoura  32250  sqwvfourb  32251  fouriersw  32253  etransclem23  32279  etransclem46  32302