smfaddlem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem smfaddlem1 39649

Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smfaddlem1.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem1.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem1.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

**Assertion**
Ref	Expression
smfaddlem1	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝,𝑞 𝐵,𝑝,𝑞 𝐶,𝑝,𝑞 𝐷,𝑝,𝑞 𝑥,𝐾 𝑅,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝑥,𝑝,𝑞 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥) 𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝐾(𝑞,𝑝)

**Proof of Theorem smfaddlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem1.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		simpl 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝜑)
3		inss1 3795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
4		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
5	4	simplbi 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
6	3, 5	sseldi 3566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfaddlem1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	2, 7, 8	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11		smfaddlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑅 ∈ ℝ)
13		elinel2 3762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
15		smfaddlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
16	14, 15	syldan 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
17	5, 16	sylan2 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ)
18	12, 17	resubcld 10337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^*)
20	4	simprbi 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
22	9, 17, 12	ltaddsubd 10506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ((𝐵 + 𝐷) < 𝑅 ↔ 𝐵 < (𝑅 − 𝐷)))
23	21, 22	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐵 < (𝑅 − 𝐷))
24	10, 19, 23	qelioo 38620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
25	17	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
26	25	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
27	11	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28		qre 11669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → 𝑝 ∈ ℝ)
30	27, 29	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
33		elioore 12076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑅 ∈ ℝ)
36	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
37	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
38	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^*)
39		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
40		iooltub 38582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^* ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 < (𝑅 − 𝐷))
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑝 < (𝑅 − 𝐷))
42	34, 35, 36, 41	ltsub13d 10512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 < (𝑅 − 𝑝))
43	42	adantlr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐷 < (𝑅 − 𝑝))
44	26, 32, 43	qelioo 38620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
45		nfv 1830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑞(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)))
46		nfre1 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
47		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℚ)
48		elioore 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℝ)
50	35	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ ℝ)
51	33	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
52	50, 51	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ)
53	25	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
54	52	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
55		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
56		iooltub 38582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^* ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 < (𝑅 − 𝑝))
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 < (𝑅 − 𝑝))
58	49, 52, 51, 57	ltadd2dd 10075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < (𝑝 + (𝑅 − 𝑝)))
59	51	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
60	50	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑅 ∈ ℂ)
61	59, 60	pncan3d 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + (𝑅 − 𝑝)) = 𝑅)
62	58, 61	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
63	62	ad5ant135 1306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
64	47, 63	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
65		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ↔ (𝑞 ∈ ℚ ∧ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅))
66	64, 65	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
67		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℚ)
68		qex 11676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℚ ∈ V
69	68	rabex 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
71		smfaddlem1.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
72	71	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
73	67, 70, 72	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
74	73	ad4antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
75	66, 74	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
76		simp-5r 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
77	76, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
78		ioogtlb 38564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝐷) ∈ ℝ^* ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
79	37, 38, 39, 78	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝐵 < 𝑝)
80	79	ad5ant13 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐵 < 𝑝)
81	25	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 ∈ ℝ^*)
82	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^*)
83		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)))
84		ioogtlb 38564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ^* ∧ (𝑅 − 𝑝) ∈ ℝ^* ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
86	85	ad4ant14 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝐷 < 𝑞)
87	77, 80, 86	jca32 556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
88		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
89	87, 88	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
90		rspe 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
91	75, 89, 90	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
92	91	ex 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
93	92	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})))
94	45, 46, 93	rexlimd 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐷(,)(𝑅 − 𝑝)) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
95	44, 94	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
96		eliun 4460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
97	95, 96	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷))) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
98	97	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
99	98	reximdva 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ (𝐵(,)(𝑅 − 𝐷)) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
100	24, 99	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
101		eliun 4460	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
102	100, 101	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
103	102	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} → 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
104	96	rexbii 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
105	101, 104	bitri 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
106	105	biimpi 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
107	106	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → ∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
108	88	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)))
109	108	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
110	109	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
111		elinel1 3761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
112	111	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
113	112, 8	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
114	109, 113	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
115	114	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
116	109, 16	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
117	116	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 ∈ ℝ)
118	115, 117	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
119		simp2l 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℚ)
120	119, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑝 ∈ ℝ)
121		ssrab2 3650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
122		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
123	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
124	122, 123	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
125	121, 124	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
126	125	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℚ)
127	28	ssriv 3572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
128	127	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
129	126, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑞 ∈ ℝ)
130	120, 129	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
131	11	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑅 ∈ ℝ)
132	108	simprld 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝐵 < 𝑝)
133	132	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐵 < 𝑝)
134	108	simprrd 793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝐷 < 𝑞)
135	134	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝐷 < 𝑞)
136	115, 117, 120, 129, 133, 135	ltadd12dd 38500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < (𝑝 + 𝑞))
137		rabidim2 38313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
138	124, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
139	138	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑝 + 𝑞) < 𝑅)
140	118, 130, 131, 136, 139	lttrd 10077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝐵 + 𝐷) < 𝑅)
141	110, 140	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅))
142	141, 4	sylibr 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
143	142	3exp 1256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})))
144	143	rexlimdvv 3019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
145	144	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → (∃𝑝 ∈ ℚ ∃𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
146	107, 145	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅})
147	146	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}))
148	103, 147	impbid 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
149	1, 148	alrimi 2069	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
150		nfrab1 3099	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅}
151		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥ℚ
152		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐾‘𝑝)
153		nfrab1 3099	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
154	152, 153	nfiun 4484	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
155	151, 154	nfiun 4484	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
156	150, 155	dfcleqf 38281	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}))
157	149, 156	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 ∀wal 1473 = wceq 1475 Ⅎwnf 1699 ∈ wcel 1977 ∃wrex 2897 {crab 2900 Vcvv 3173 ∩ cin 3539 ∪ ciun 4455 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 + caddc 9818 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 − cmin 10145 ℚcq 11664 (,)cioo 12046

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-q 11665 df-ioo 12050

This theorem is referenced by: smfaddlem2 39650

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