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Theorem ftc1cnnclem 29693
Description: Lemma for ftc1cnnc 29694; cf. ftc1lem4 22203. The stronger assumptions of ftc1cn 22207 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1cnnclem.c  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
ftc1cnnclem.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
ftc1cnnclem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
ftc1cnnclem.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
ftc1cnnclem.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, t, A    x, B, y, z, t    x, F, y, z, t    ph, x, y, z, t    y, G, z    x, c, y, z, t    x, X, z, t    y, E, t    y, H    x, Y, t    y, R
Allowed substitution hints:    ph( c)    A( c)    B( c)    R( x, z, t, c)    E( x, z, c)    F( c)    G( x, t, c)    H( x, z, t, c)    X( y, c)    Y( y, z, c)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 11606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ssid 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
16 ioossre 11586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
20 cncff 21160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 22199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2311, 22syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
241rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
252rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 elicc1 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <->  ( X  e.  RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  e. 
RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) )
2827simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  X
)
2924, 25, 5, 28syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iccleub 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  Y  e.  ( A [,] B
) )  ->  Y  <_  B )
3124, 25, 7, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
32 df-ioo 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
u  <  t  /\  t  <  v ) } )
33 xrlelttr 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  X  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  X  /\  X  <  x )  ->  A  <  x
) )
34 xrltletr 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  Y  /\  Y  <_  B )  ->  x  <  B
) )
3532, 32, 33, 34ixxss12 11549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  X  /\  Y  <_  B ) )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3624, 25, 29, 31, 35syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3736sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  ( A (,) B ) )
3821ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
3937, 38syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
40 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4121, 40ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  c
)  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
4339, 42npcand 9934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  =  ( F `  t
) )
4443itgeq2dv 21951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4539, 42subcld 9930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e.  CC )
46 ioombl 21738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
48 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5021feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 t ) ) )
5150, 18eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
5236, 47, 49, 51iblss 21974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
53 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 c ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )
54 mblvol 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y
) ) )
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y ) )
56 ioossicc 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
58 iccmbl 21739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
596, 8, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
60 mblss 21705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
62 mblvol 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
64 iccvolcl 21740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
656, 8, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
6663, 65eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
67 ovolsscl 21660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
6857, 61, 66, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
6955, 68syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
70 iblconst 21987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  c ) } )  e.  L^1 )
7147, 69, 41, 70syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  c
) } )  e.  L^1 )
7253, 71syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  L^1 )
73 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7473subcn 21133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7621, 36feqresmpt 5921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) ) )
77 rescncf 21164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) ) )
7836, 19, 77sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
7976, 78eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
80 ioossre 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
81 ax-resscn 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
8280, 81sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X (,) Y )  C_  CC
83 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
84 cncfmptc 21178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
8582, 83, 84mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  c )  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `  c ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8641, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8773, 75, 79, 86cncfmpt2f 21181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
88 cnmbf 21829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8946, 87, 88sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
9039, 52, 42, 72, 89iblsubnc 29681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  L^1 )
9143mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 t ) ) )
9291, 76eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( F  |`  ( X (,) Y
) ) )
93 iblmbf 21937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
9418, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
95 mbfres 21814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn
)
9694, 46, 95sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn )
9792, 96eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  e. MblFn )
9845, 90, 42, 72, 97itgaddnc 29680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9944, 98eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t ) )
101 itgconst 21988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
10247, 69, 41, 101syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
1046adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
1058adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
106 ovolioo 21741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
107104, 105, 11, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
10855, 107syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
109108oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) )
110103, 109eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
111110oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
11223, 100, 1113eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  +  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
113112oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
114 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V )
116115, 90itgcl 21953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  e.  CC )
117116adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  e.  CC )
11841adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
1198, 6resubcld 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
120119recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
121120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
122118, 121mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1236, 8posdifd 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
124123biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
125124gt0ne0d 10117 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
126117, 122, 121, 125divdird 10358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
127118, 121, 125divcan4d 10326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  c
) )
128127oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  c ) ) )
129113, 126, 1283eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) ) )
130129oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) )  -  ( F `
 c ) ) )
131117, 121, 125divcld 10320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
132131, 118pncand 9931 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 c ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
133130, 132eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
134133fveq2d 5870 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
135117, 121, 125absdivd 13249 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
136119adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
137 0re 9596 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
138 ltle 9673 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
139137, 136, 138sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
140124, 139mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
141136, 140absidd 13217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
142141oveq2d 6300 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
143134, 135, 1423eqtrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
144117abscld 13230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  e.  RR )
14545abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  RR )
146 cncfss 21166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
14781, 83, 146mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
148 abscncf 21168 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
149147, 148sselii 3501 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
150149a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
151150, 87cncfmpt1f 21180 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
152 cnmbf 21829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
15346, 151, 152sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
154115, 90, 153iblabsnc 29684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  L^1 )
155145, 154itgrecl 21967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  _d t  e.  RR )
156155adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  e.  RR )
157 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
158157rpred 11256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
159119, 158remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
160159adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
161116cjcld 12992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC )
162 cncfmptc 21178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  /\  ( X (,) Y )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
16382, 83, 162mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
164161, 163syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
165 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
166 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
167 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  =  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
168165, 166, 167cbvmpt 4537 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )
169168, 87syl5eqelr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
170164, 169mulcncf 21622 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
171 cnmbf 21829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( * `
 S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  x. 
[_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e. MblFn
)
17246, 170, 171sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e. MblFn
)
17345, 90, 153, 172itgabsnc 29689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t )
174173adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )
175 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <  Y )
176158adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
177 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
178157rpcnd 11258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
179 iblconst 21987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L^1 )
18047, 69, 178, 179syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L^1 )
181177, 180syl5eqelr 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
182 cncfmptc 21178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
18382, 83, 182mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
184178, 183syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
18573, 75, 184, 151cncfmpt2f 21181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
186 cnmbf 21829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) ) )  e. MblFn )
18746, 185, 186sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e. MblFn )
188176, 181, 145, 154, 187iblsubnc 29681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
189188adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
190 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
191190ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
192191adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
19316, 40sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  c  e.  RR )
194 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
195194rpred 11256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
196193, 195resubcld 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  e.  RR )
197196adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  e.  RR )
1986adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
199 elioore 11559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  t  e.  RR )
200199adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
201 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
2026, 193, 195absdifltd 13228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R
) ) ) )
203201, 202mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R ) ) )
204203simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  <  X )
205204adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  X
)
206 eliooord 11584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
207206adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
208207simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
209197, 198, 200, 205, 208lttrd 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  t
)
2108adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
211193, 195readdcld 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  +  R
)  e.  RR )
212211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  +  R )  e.  RR )
213207simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
214 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
2158, 193, 195absdifltd 13228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R
) ) ) )
216214, 215mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R ) ) )
217216simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
218217adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
219200, 210, 212, 213, 218lttrd 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( c  +  R ) )
220193adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  c  e.  RR )
221195adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
222200, 220, 221absdifltd 13228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c ) )  < 
R  <->  ( ( c  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( c  +  R ) ) ) )
223209, 219, 222mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
)
224 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  c )  =  ( t  -  c ) )
225224fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  c ) )  =  ( abs `  (
t  -  c ) ) )
226225breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
) )
227 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
228227oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
229228fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )
230229breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
231226, 230imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
232231rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
23337, 192, 223, 232syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
234 difrp 11253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ ) )
235145, 176, 234syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ ) )
236233, 235mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ )
237236adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ )
238185adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
239175, 189, 237, 238itggt0cn 29692 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )  _d t )
240176, 181, 145, 154, 187itgsubnc 29682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
241240adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
242 itgconst 21988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
24347, 69, 178, 242syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
244243adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
245108oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
246178, 120mulcomd 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
247246adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
248244, 245, 2473eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
249248oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
250241, 249eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
251239, 250breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
252155, 159posdifd 10139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) ) )
253252biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
254251, 253syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
255144, 156, 160, 174, 254lelttrd 9739 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
256158adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  E  e.  RR )
257 ltdivmul 10417 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
258144, 256, 136, 124, 257syl112anc 1232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
259255, 258mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
260143, 259eqbrtrd 4467 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999    |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495    x. cmul 9497   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   [,]cicc 11532   *ccj 12892   abscabs 13030   TopOpenctopn 14677  ℂfldccnfld 18219    Cn ccn 19519    tX ctx 19824   -cn->ccncf 21143   vol*covol 21637   volcvol 21638  MblFncmbf 21786   L^1cibl 21789   S.citg 21790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791  df-itg1 21792  df-itg2 21793  df-ibl 21794  df-itg 21795  df-0p 21840
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  29694
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