Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1cnnclem Structured version   Unicode version

Theorem ftc1cnnclem 28465
Description: Lemma for ftc1cnnc 28466; cf. ftc1lem4 21511. The stronger assumptions of ftc1cn 21515 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1cnnclem.c  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
ftc1cnnclem.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
ftc1cnnclem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
ftc1cnnclem.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
ftc1cnnclem.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, t, A    x, B, y, z, t    x, F, y, z, t    ph, x, y, z, t    y, G, z    x, c, y, z, t    x, X, z, t    y, E, t    y, H    x, Y, t    y, R
Allowed substitution hints:    ph( c)    A( c)    B( c)    R( x, z, t, c)    E( x, z, c)    F( c)    G( x, t, c)    H( x, z, t, c)    X( y, c)    Y( y, z, c)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 11377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ssid 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
16 ioossre 11357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
20 cncff 20469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 21507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2311, 22syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
241rexrd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
252rexrd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 elicc1 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <->  ( X  e.  RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  e. 
RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) )
2827simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  X
)
2924, 25, 5, 28syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iccleub 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  Y  e.  ( A [,] B
) )  ->  Y  <_  B )
3124, 25, 7, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
32 df-ioo 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
u  <  t  /\  t  <  v ) } )
33 xrlelttr 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  X  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  X  /\  X  <  x )  ->  A  <  x
) )
34 xrltletr 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  Y  /\  Y  <_  B )  ->  x  <  B
) )
3532, 32, 33, 34ixxss12 11320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  X  /\  Y  <_  B ) )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3624, 25, 29, 31, 35syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3736sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  ( A (,) B ) )
3821ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
3937, 38syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
40 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4121, 40ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  c
)  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
4339, 42npcand 9723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  =  ( F `  t
) )
4443itgeq2dv 21259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4539, 42subcld 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e.  CC )
46 ioombl 21046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
48 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5021feqmptd 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 t ) ) )
5150, 18eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
5236, 47, 49, 51iblss 21282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
53 fconstmpt 4882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 c ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )
54 mblvol 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y
) ) )
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y ) )
56 ioossicc 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
58 iccmbl 21047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
596, 8, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
60 mblss 21014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
62 mblvol 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
64 iccvolcl 21048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
656, 8, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
6663, 65eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
67 ovolsscl 20969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
6857, 61, 66, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
6955, 68syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
70 iblconst 21295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  c ) } )  e.  L^1 )
7147, 69, 41, 70syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  c
) } )  e.  L^1 )
7253, 71syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  L^1 )
73 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7473subcn 20442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7621, 36feqresmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) ) )
77 rescncf 20473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) ) )
7836, 19, 77sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
7976, 78eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
80 ioossre 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
81 ax-resscn 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
8280, 81sstri 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X (,) Y )  C_  CC
83 ssid 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
84 cncfmptc 20487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
8582, 83, 84mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  c )  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `  c ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8641, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8773, 75, 79, 86cncfmpt2f 20490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
88 cnmbf 21137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8946, 87, 88sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
9039, 52, 42, 72, 89iblsubnc 28453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  L^1 )
9143mpteq2dva 4378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 t ) ) )
9291, 76eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( F  |`  ( X (,) Y
) ) )
93 iblmbf 21245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
9418, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
95 mbfres 21122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn
)
9694, 46, 95sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn )
9792, 96eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  e. MblFn )
9845, 90, 42, 72, 97itgaddnc 28452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9944, 98eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t ) )
101 itgconst 21296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
10247, 69, 41, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
1046adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
1058adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
106 ovolioo 21049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
107104, 105, 11, 106syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
10855, 107syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
109108oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) )
110103, 109eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
111110oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
11223, 100, 1113eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  +  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
113112oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
114 ovex 6116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V )
116115, 90itgcl 21261 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  e.  CC )
117116adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  e.  CC )
11841adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
1198, 6resubcld 9776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
120119recnd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
121120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
122118, 121mulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1236, 8posdifd 9926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
124123biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
125124gt0ne0d 9904 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
126117, 122, 121, 125divdird 10145 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
127118, 121, 125divcan4d 10113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  c
) )
128127oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  c ) ) )
129113, 126, 1283eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) ) )
130129oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) )  -  ( F `
 c ) ) )
131117, 121, 125divcld 10107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
132131, 118pncand 9720 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 c ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
133130, 132eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
134133fveq2d 5695 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
135117, 121, 125absdivd 12941 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
136119adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
137 0re 9386 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
138 ltle 9463 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
139137, 136, 138sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
140124, 139mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
141136, 140absidd 12909 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
142141oveq2d 6107 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
143134, 135, 1423eqtrd 2479 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
144117abscld 12922 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  e.  RR )
14545abscld 12922 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  RR )
146 cncfss 20475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
14781, 83, 146mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
148 abscncf 20477 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
149147, 148sselii 3353 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
150149a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
151150, 87cncfmpt1f 20489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
152 cnmbf 21137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
15346, 151, 152sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
154115, 90, 153iblabsnc 28456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  L^1 )
155145, 154itgrecl 21275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  _d t  e.  RR )
156155adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  e.  RR )
157 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
158157rpred 11027 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
159119, 158remulcld 9414 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
160159adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
161116cjcld 12685 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC )
162 cncfmptc 20487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  /\  ( X (,) Y )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
16382, 83, 162mp3an23 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
164161, 163syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
165 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
166 nfcsb1v 3304 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
167 csbeq1a 3297 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  =  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
168165, 166, 167cbvmpt 4382 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )
169168, 87syl5eqelr 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
170164, 169mulcncf 20931 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
171 cnmbf 21137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( * `
 S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  x. 
[_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e. MblFn
)
17246, 170, 171sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e. MblFn
)
17345, 90, 153, 172itgabsnc 28461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t )
174173adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )
175 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <  Y )
176158adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
177 fconstmpt 4882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
178157rpcnd 11029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
179 iblconst 21295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L^1 )
18047, 69, 178, 179syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L^1 )
181177, 180syl5eqelr 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
182 cncfmptc 20487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
18382, 83, 182mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
184178, 183syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
18573, 75, 184, 151cncfmpt2f 20490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
186 cnmbf 21137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) ) )  e. MblFn )
18746, 185, 186sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e. MblFn )
188176, 181, 145, 154, 187iblsubnc 28453 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
189188adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
190 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
191190ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
192191adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
19316, 40sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  c  e.  RR )
194 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
195194rpred 11027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
196193, 195resubcld 9776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  e.  RR )
197196adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  e.  RR )
1986adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
199 elioore 11330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  t  e.  RR )
200199adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
201 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
2026, 193, 195absdifltd 12920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R
) ) ) )
203201, 202mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R ) ) )
204203simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  <  X )
205204adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  X
)
206 eliooord 11355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
207206adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
208207simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
209197, 198, 200, 205, 208lttrd 9532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  t
)
2108adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
211193, 195readdcld 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  +  R
)  e.  RR )
212211adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  +  R )  e.  RR )
213207simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
214 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
2158, 193, 195absdifltd 12920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R
) ) ) )
216214, 215mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R ) ) )
217216simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
218217adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
219200, 210, 212, 213, 218lttrd 9532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( c  +  R ) )
220193adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  c  e.  RR )
221195adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
222200, 220, 221absdifltd 12920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c ) )  < 
R  <->  ( ( c  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( c  +  R ) ) ) )
223209, 219, 222mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
)
224 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  c )  =  ( t  -  c ) )
225224fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  c ) )  =  ( abs `  (
t  -  c ) ) )
226225breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
) )
227 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
228227oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
229228fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )
230229breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
231226, 230imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
232231rspcv 3069 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
23337, 192, 223, 232syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
234 difrp 11024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ ) )
235145, 176, 234syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ ) )
236233, 235mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ )
237236adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ )
238185adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
239175, 189, 237, 238itggt0cn 28464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )  _d t )
240176, 181, 145, 154, 187itgsubnc 28454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
241240adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
242 itgconst 21296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
24347, 69, 178, 242syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
244243adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
245108oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
246178, 120mulcomd 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
247246adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
248244, 245, 2473eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
249248oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
250241, 249eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
251239, 250breqtrd 4316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
252155, 159posdifd 9926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) ) )
253252biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
254251, 253syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
255144, 156, 160, 174, 254lelttrd 9529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
256158adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  E  e.  RR )
257 ltdivmul 10204 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
258144, 256, 136, 124, 257syl112anc 1222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
259255, 258mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
260143, 259eqbrtrd 4312 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   [_csb 3288    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   dom cdm 4840    |` cres 4842   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282    + caddc 9285    x. cmul 9287   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   [,]cicc 11303   *ccj 12585   abscabs 12723   TopOpenctopn 14360  ℂfldccnfld 17818    Cn ccn 18828    tX ctx 19133   -cn->ccncf 20452   vol*covol 20946   volcvol 20947  MblFncmbf 21094   L^1cibl 21097   S.citg 21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-ibl 21102  df-itg 21103  df-0p 21148
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  28466
  Copyright terms: Public domain W3C validator