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Theorem ftc1cnnclem 30250
Description: Lemma for ftc1cnnc 30251; cf. ftc1lem4 22565. The stronger assumptions of ftc1cn 22569 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1cnnclem.c  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
ftc1cnnclem.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
ftc1cnnclem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
ftc1cnnclem.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
ftc1cnnclem.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, t, A    x, B, y, z, t    x, F, y, z, t    ph, x, y, z, t    y, G, z    x, c, y, z, t    x, X, z, t    y, E, t    y, H    x, Y, t    y, R
Allowed substitution hints:    ph( c)    A( c)    B( c)    R( x, z, t, c)    E( x, z, c)    F( c)    G( x, t, c)    H( x, z, t, c)    X( y, c)    Y( y, z, c)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 11631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
16 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
20 cncff 21522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 22561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2311, 22syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
241rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
252rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 elicc1 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <->  ( X  e.  RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) ) )
2726biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  e. 
RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) )
2827simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  X
)
2924, 25, 5, 28syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iccleub 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  Y  e.  ( A [,] B
) )  ->  Y  <_  B )
3124, 25, 7, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
32 ioossioo 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  X  /\  Y  <_  B ) )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3324, 25, 29, 31, 32syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3433sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  ( A (,) B ) )
3521ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
3634, 35syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
37 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
3821, 37ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  c
)  e.  CC )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
4036, 39npcand 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  =  ( F `  t
) )
4140itgeq2dv 22313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4236, 39subcld 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e.  CC )
43 ioombl 22100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
45 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
4721feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 t ) ) )
4847, 18eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
4933, 44, 46, 48iblss 22336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
50 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 c ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )
51 mblvol 22066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y
) ) )
5243, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y ) )
53 ioossicc 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
55 iccmbl 22101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
566, 8, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
57 mblss 22067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
59 mblvol 22066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
6056, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
61 iccvolcl 22102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
626, 8, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
6360, 62eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
64 ovolsscl 22022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
6554, 58, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
6652, 65syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
67 iblconst 22349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  c ) } )  e.  L^1 )
6844, 66, 38, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  c
) } )  e.  L^1 )
6950, 68syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  L^1 )
70 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7170subcn 21495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7321, 33feqresmpt 5927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) ) )
74 rescncf 21526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) ) )
7533, 19, 74sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
7673, 75eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
77 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
78 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
7977, 78sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X (,) Y )  C_  CC
80 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
81 cncfmptc 21540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
8279, 80, 81mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  c )  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `  c ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8338, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8470, 72, 76, 83cncfmpt2f 21543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
85 cnmbf 22191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8643, 84, 85sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8736, 49, 39, 69, 86iblsubnc 30238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  L^1 )
8840mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 t ) ) )
8988, 73eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( F  |`  ( X (,) Y
) ) )
90 iblmbf 22299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
9118, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
92 mbfres 22176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn
)
9391, 43, 92sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn )
9489, 93eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  e. MblFn )
9542, 87, 39, 69, 94itgaddnc 30237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9641, 95eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9796adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t ) )
98 itgconst 22350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
9944, 66, 38, 98syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
1016adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
1028adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
103 ovolioo 22103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
104101, 102, 11, 103syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
10552, 104syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
106105oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) )
107100, 106eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
108107oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
10923, 97, 1083eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  +  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
110109oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
111 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V )
113112, 87itgcl 22315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  e.  CC )
114113adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  e.  CC )
11538adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
1168, 6resubcld 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
117116recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
118117adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
119115, 118mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1206, 8posdifd 10160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
121120biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
122121gt0ne0d 10138 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
123114, 119, 118, 122divdird 10379 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
124115, 118, 122divcan4d 10347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  c
) )
125124oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  c ) ) )
126110, 123, 1253eqtrd 2502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) ) )
127126oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) )  -  ( F `
 c ) ) )
128114, 118, 122divcld 10341 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
129128, 115pncand 9951 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 c ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
130127, 129eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
131130fveq2d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
132114, 118, 122absdivd 13297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
133116adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
134 0re 9613 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
135 ltle 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
136134, 133, 135sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
137121, 136mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
138133, 137absidd 13265 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
139138oveq2d 6312 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
140131, 132, 1393eqtrd 2502 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
141114abscld 13278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  e.  RR )
14242abscld 13278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  RR )
143 cncfss 21528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
14478, 80, 143mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
145 abscncf 21530 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
146144, 145sselii 3496 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
147146a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
148147, 84cncfmpt1f 21542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
149 cnmbf 22191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
15043, 148, 149sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
151112, 87, 150iblabsnc 30241 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  L^1 )
152142, 151itgrecl 22329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  _d t  e.  RR )
153152adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  e.  RR )
154 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
155154rpred 11281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
156116, 155remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
157156adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
158113cjcld 13040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC )
159 cncfmptc 21540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  /\  ( X (,) Y )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
16079, 80, 159mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
161158, 160syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
162 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
163 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
164 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  =  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
165162, 163, 164cbvmpt 4547 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )
166165, 84syl5eqelr 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
167161, 166mulcncf 21984 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
168 cnmbf 22191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( * `
 S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  x. 
[_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e. MblFn
)
16943, 167, 168sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e. MblFn
)
17042, 87, 150, 169itgabsnc 30246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t )
171170adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )
172 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <  Y )
173155adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
174 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
175154rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
176 iblconst 22349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L^1 )
17744, 66, 175, 176syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L^1 )
178174, 177syl5eqelr 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
179 cncfmptc 21540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
18079, 80, 179mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
181175, 180syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
18270, 72, 181, 148cncfmpt2f 21543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
183 cnmbf 22191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) ) )  e. MblFn )
18443, 182, 183sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e. MblFn )
185173, 178, 142, 151, 184iblsubnc 30238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
186185adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
187 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
188187ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
189188adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
19016, 37sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  c  e.  RR )
191 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
192191rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
193190, 192resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  e.  RR )
194193adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  e.  RR )
1956adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
196 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  t  e.  RR )
197196adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
198 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
1996, 190, 192absdifltd 13276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R
) ) ) )
200198, 199mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R ) ) )
201200simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  <  X )
202201adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  X
)
203 eliooord 11609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
204203adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
205204simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
206194, 195, 197, 202, 205lttrd 9760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  t
)
2078adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
208190, 192readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  +  R
)  e.  RR )
209208adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  +  R )  e.  RR )
210204simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
211 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
2128, 190, 192absdifltd 13276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R
) ) ) )
213211, 212mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R ) ) )
214213simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
215214adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
216197, 207, 209, 210, 215lttrd 9760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( c  +  R ) )
217190adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  c  e.  RR )
218192adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
219197, 217, 218absdifltd 13276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c ) )  < 
R  <->  ( ( c  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( c  +  R ) ) ) )
220206, 216, 219mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
)
221 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  c )  =  ( t  -  c ) )
222221fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  c ) )  =  ( abs `  (
t  -  c ) ) )
223222breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
) )
224 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
225224oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
226225fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )
227226breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
228223, 227imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
229228rspcv 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
23034, 189, 220, 229syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
231 difrp 11278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ ) )
232142, 173, 231syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ ) )
233230, 232mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ )
234233adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ )
235182adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
236172, 186, 234, 235itggt0cn 30249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )  _d t )
237173, 178, 142, 151, 184itgsubnc 30239 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
238237adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
239 itgconst 22350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
24044, 66, 175, 239syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
241240adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
242105oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
243175, 117mulcomd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
244243adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
245241, 242, 2443eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
246245oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
247238, 246eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
248236, 247breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
249152, 156posdifd 10160 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) ) )
250249biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
251248, 250syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
252141, 153, 157, 171, 251lelttrd 9757 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
253155adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  E  e.  RR )
254 ltdivmul 10438 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
255141, 253, 133, 121, 254syl112anc 1232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
256252, 255mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
257140, 256eqbrtrd 4476 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   *ccj 12940   abscabs 13078   TopOpenctopn 14838  ℂfldccnfld 18546    Cn ccn 19851    tX ctx 20186   -cn->ccncf 21505   vol*covol 21999   volcvol 22000  MblFncmbf 22148   L^1cibl 22151   S.citg 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153  df-itg1 22154  df-itg2 22155  df-ibl 22156  df-itg 22157  df-0p 22202
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  30251
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