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Theorem ftc1cnnclem 32079
Description: Lemma for ftc1cnnc 32080; cf. ftc1lem4 23070. The stronger assumptions of ftc1cn 23074 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1cnnclem.c  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
ftc1cnnclem.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
ftc1cnnclem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
ftc1cnnclem.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
ftc1cnnclem.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, t, A    x, B, y, z, t    x, F, y, z, t    ph, x, y, z, t    y, G, z    x, c, y, z, t    x, X, z, t    y, E, t    y, H    x, Y, t    y, R
Allowed substitution hints:    ph( c)    A( c)    B( c)    R( x, z, t, c)    E( x, z, c)    F( c)    G( x, t, c)    H( x, z, t, c)    X( y, c)    Y( y, z, c)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
16 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
20 cncff 22003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 23066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2311, 22syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
241rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
252rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 elicc1 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <->  ( X  e.  RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) ) )
2726biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  e. 
RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) )
2827simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  X
)
2924, 25, 5, 28syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iccleub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  Y  e.  ( A [,] B
) )  ->  Y  <_  B )
3124, 25, 7, 30syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
32 ioossioo 11751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  X  /\  Y  <_  B ) )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3324, 25, 29, 31, 32syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3433sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  ( A (,) B ) )
3521ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
3634, 35syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
37 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
3821, 37ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  c
)  e.  CC )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
4036, 39npcand 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  =  ( F `  t
) )
4140itgeq2dv 22818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4236, 39subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e.  CC )
43 ioombl 22597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
45 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
4721feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 t ) ) )
4847, 18eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
4933, 44, 46, 48iblss 22841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
50 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 c ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )
51 mblvol 22562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y
) ) )
5243, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y ) )
53 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
55 iccmbl 22598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
566, 8, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
57 mblss 22563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
59 mblvol 22562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
61 iccvolcl 22599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
626, 8, 61syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
6360, 62eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
64 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
6554, 58, 63, 64syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
6652, 65syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
67 iblconst 22854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  c ) } )  e.  L^1 )
6844, 66, 38, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  c
) } )  e.  L^1 )
6950, 68syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  L^1 )
70 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7170subcn 21976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7321, 33feqresmpt 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) ) )
74 rescncf 22007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) ) )
7533, 19, 74sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
7673, 75eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
77 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
78 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
7977, 78sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X (,) Y )  C_  CC
80 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
81 cncfmptc 22021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
8279, 80, 81mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  c )  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `  c ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8338, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8470, 72, 76, 83cncfmpt2f 22024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
85 cnmbf 22694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8643, 84, 85sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8736, 49, 39, 69, 86iblsubnc 32067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  L^1 )
8840mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 t ) ) )
8988, 73eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( F  |`  ( X (,) Y
) ) )
90 iblmbf 22804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
9118, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
92 mbfres 22679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn
)
9391, 43, 92sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn )
9489, 93eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  e. MblFn )
9542, 87, 39, 69, 94itgaddnc 32066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9641, 95eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9796adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t ) )
98 itgconst 22855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
9944, 66, 38, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
10099adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
1016adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
1028adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
103 ovolioo 22600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
104101, 102, 11, 103syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
10552, 104syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
106105oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) )
107100, 106eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
108107oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
10923, 97, 1083eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  +  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
110109oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
111 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V )
113112, 87itgcl 22820 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  e.  CC )
114113adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  e.  CC )
11538adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
1168, 6resubcld 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
117116recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
118117adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
119115, 118mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1206, 8posdifd 10221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
121120biimpa 492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
122121gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
123114, 119, 118, 122divdird 10443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
124115, 118, 122divcan4d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  c
) )
125124oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  c ) ) )
126110, 123, 1253eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) ) )
127126oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) )  -  ( F `
 c ) ) )
128114, 118, 122divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
129128, 115pncand 10006 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 c ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
130127, 129eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
131130fveq2d 5883 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
132114, 118, 122absdivd 13594 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
133116adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
134 0re 9661 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
135 ltle 9740 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
136134, 133, 135sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
137121, 136mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
138133, 137absidd 13561 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
139138oveq2d 6324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
140131, 132, 1393eqtrd 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
141114abscld 13575 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  e.  RR )
14242abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  RR )
143 cncfss 22009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
14478, 80, 143mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
145 abscncf 22011 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
146144, 145sselii 3415 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
147146a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
148147, 84cncfmpt1f 22023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
149 cnmbf 22694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
15043, 148, 149sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
151112, 87, 150iblabsnc 32070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  L^1 )
152142, 151itgrecl 22834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  _d t  e.  RR )
153152adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  e.  RR )
154 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
155154rpred 11364 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
156116, 155remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
157156adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
158113cjcld 13336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC )
159 cncfmptc 22021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  /\  ( X (,) Y )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
16079, 80, 159mp3an23 1382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
161158, 160syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
162 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
163 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
164 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  =  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
165162, 163, 164cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )
166165, 84syl5eqelr 2554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
167161, 166mulcncf 22476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
168 cnmbf 22694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( * `
 S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  x. 
[_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e. MblFn
)
16943, 167, 168sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e. MblFn
)
17042, 87, 150, 169itgabsnc 32075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t )
171170adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )
172 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <  Y )
173155adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
174 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
175154rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
176 iblconst 22854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L^1 )
17744, 66, 175, 176syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L^1 )
178174, 177syl5eqelr 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
179 cncfmptc 22021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
18079, 80, 179mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
181175, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
18270, 72, 181, 148cncfmpt2f 22024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
183 cnmbf 22694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) ) )  e. MblFn )
18443, 182, 183sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e. MblFn )
185173, 178, 142, 151, 184iblsubnc 32067 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
186185adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
187 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
188187ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
189188adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
19016, 37sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  c  e.  RR )
191 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
192191rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
193190, 192resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  e.  RR )
194193adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  e.  RR )
1956adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
196 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  t  e.  RR )
197196adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
198 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
1996, 190, 192absdifltd 13572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R
) ) ) )
200198, 199mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R ) ) )
201200simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  <  X )
202201adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  X
)
203 eliooord 11719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
204203adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
205204simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
206194, 195, 197, 202, 205lttrd 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  t
)
2078adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
208190, 192readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  +  R
)  e.  RR )
209208adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  +  R )  e.  RR )
210204simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
211 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
2128, 190, 192absdifltd 13572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R
) ) ) )
213211, 212mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R ) ) )
214213simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
215214adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
216197, 207, 209, 210, 215lttrd 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( c  +  R ) )
217190adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  c  e.  RR )
218192adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
219197, 217, 218absdifltd 13572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c ) )  < 
R  <->  ( ( c  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( c  +  R ) ) ) )
220206, 216, 219mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
)
221 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  c )  =  ( t  -  c ) )
222221fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  c ) )  =  ( abs `  (
t  -  c ) ) )
223222breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
) )
224 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
225224oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
226225fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )
227226breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
228223, 227imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
229228rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
23034, 189, 220, 229syl3c 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
231 difrp 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ ) )
232142, 173, 231syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ ) )
233230, 232mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ )
234233adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ )
235182adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
236172, 186, 234, 235itggt0cn 32078 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )  _d t )
237173, 178, 142, 151, 184itgsubnc 32068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
238237adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
239 itgconst 22855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
24044, 66, 175, 239syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
241240adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
242105oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
243175, 117mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
244243adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
245241, 242, 2443eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
246245oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
247238, 246eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
248236, 247breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
249152, 156posdifd 10221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) ) )
250249biimpar 493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
251248, 250syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
252141, 153, 157, 171, 251lelttrd 9810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
253155adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  E  e.  RR )
254 ltdivmul 10502 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
255141, 253, 133, 121, 254syl112anc 1296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
256252, 255mpbird 240 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
257140, 256eqbrtrd 4416 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   *ccj 13236   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047    Cn ccn 20317    tX ctx 20652   -cn->ccncf 21986   vol*covol 22491   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   L^1cibl 22654   S.citg 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  32080
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