Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1cnnclem Unicode version

Theorem ftc1cnnclem 26177
 Description: Lemma for ftc1cnnc 26178; cf. ftc1lem4 19876. The stronger assumptions of ftc1cn 19880 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g
ftc1cnnc.a
ftc1cnnc.b
ftc1cnnc.le
ftc1cnnc.f
ftc1cnnc.i
ftc1cnnclem.c
ftc1cnnclem.h
ftc1cnnclem.e
ftc1cnnclem.r
ftc1cnnclem.fc
ftc1cnnclem.x1
ftc1cnnclem.x2
ftc1cnnclem.y1
ftc1cnnclem.y2
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14
3 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . 14
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13
84, 7sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12
9 ltle 9119 . . . . . . . . . . . 12
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
1110imp 419 . . . . . . . . . 10
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11
14 ssid 3327 . . . . . . . . . . . 12
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11
16 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . 12
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12
20 cncff 18876 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 19872 . . . . . . . . . 10
2311, 22syldan 457 . . . . . . . . 9
241rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
252rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 elicc1 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2924, 25, 5, 28syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 iccleub 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3124, 25, 7, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 df-ioo 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 xrlelttr 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
34 xrltletr 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3532, 32, 33, 34ixxss12 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3624, 25, 29, 31, 35syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . 14
3821ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13
40 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15
4121, 40ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
4339, 42npcand 9371 . . . . . . . . . . . 12
4443itgeq2dv 19626 . . . . . . . . . . 11
4539, 42subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12
46 ioombl 19412 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
48 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
5021feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150, 18eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14
5236, 47, 49, 51iblss 19649 . . . . . . . . . . . . 13
53 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . 14
54 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5546, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 iccmbl 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
596, 8, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 mblss 19380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64 iccvolcl 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
656, 8, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6663, 65eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6857, 61, 66, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6955, 68syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 iblconst 19662 . . . . . . . . . . . . . . 15
7147, 69, 41, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
7253, 71syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . . . 13
73 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
7473subcn 18849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld fld fld
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld fld
7621, 36feqresmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 rescncf 18880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7836, 19, 77sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7976, 78eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8582, 83, 84mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8641, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
8773, 75, 79, 86cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . . . . . 14
88 cnmbf 19504 . . . . . . . . . . . . . 14 MblFn
8946, 87, 88sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13 MblFn
9039, 52, 42, 72, 89iblsubnc 26165 . . . . . . . . . . . 12
9143mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . . . 14
9291, 76eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13
93 iblmbf 19612 . . . . . . . . . . . . . . 15 MblFn
9418, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 MblFn
95 mbfres 19489 . . . . . . . . . . . . . 14 MblFn MblFn
9694, 46, 95sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13 MblFn
9792, 96eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12 MblFn
9845, 90, 42, 72, 97itgaddnc 26164 . . . . . . . . . . 11
9944, 98eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10
10099adantr 452 . . . . . . . . 9
101 itgconst 19663 . . . . . . . . . . . . 13
10247, 69, 41, 101syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11
1046adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
1058adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
106 ovolioo 19415 . . . . . . . . . . . . . 14
107104, 105, 11, 106syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
10855, 107syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12
109108oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11
110103, 109eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
111110oveq2d 6056 . . . . . . . . 9
11223, 100, 1113eqtrd 2440 . . . . . . . 8
113112oveq1d 6055 . . . . . . 7
114 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10
116115, 90itgcl 19628 . . . . . . . . 9
117116adantr 452 . . . . . . . 8
11841adantr 452 . . . . . . . . 9
1198, 6resubcld 9421 . . . . . . . . . . 11
120119recnd 9070 . . . . . . . . . 10
121120adantr 452 . . . . . . . . 9
122118, 121mulcld 9064 . . . . . . . 8
1236, 8posdifd 9569 . . . . . . . . . 10
124123biimpa 471 . . . . . . . . 9
125124gt0ne0d 9547 . . . . . . . 8
126117, 122, 121, 125divdird 9784 . . . . . . 7
127118, 121, 125divcan4d 9752 . . . . . . . 8
128127oveq2d 6056 . . . . . . 7
129113, 126, 1283eqtrd 2440 . . . . . 6
130129oveq1d 6055 . . . . 5
131117, 121, 125divcld 9746 . . . . . 6
132131, 118pncand 9368 . . . . 5
133130, 132eqtrd 2436 . . . 4
134133fveq2d 5691 . . 3
135117, 121, 125absdivd 12212 . . 3
136119adantr 452 . . . . 5
137 0re 9047 . . . . . . 7
138 ltle 9119 . . . . . . 7
139137, 136, 138sylancr 645 . . . . . 6
140124, 139mpd 15 . . . . 5
141136, 140absidd 12180 . . . 4
142141oveq2d 6056 . . 3
143134, 135, 1423eqtrd 2440 . 2
144117abscld 12193 . . . 4
14545abscld 12193 . . . . . 6
146 cncfss 18882 . . . . . . . . . . . 12
14781, 83, 146mp2an 654 . . . . . . . . . . 11
148 abscncf 18884 . . . . . . . . . . 11
149147, 148sselii 3305 . . . . . . . . . 10
150149a1i 11 . . . . . . . . 9
151150, 87cncfmpt1f 18896 . . . . . . . 8
152 cnmbf 19504 . . . . . . . 8 MblFn
15346, 151, 152sylancr 645 . . . . . . 7 MblFn
154115, 90, 153iblabsnc 26168 . . . . . 6
155145, 154itgrecl 19642 . . . . 5
156155adantr 452 . . . 4
157 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7
158157rpred 10604 . . . . . 6
159119, 158remulcld 9072 . . . . 5
160159adantr 452 . . . 4
16173mulcn 18850 . . . . . . . . 9 fld fld fld
162161a1i 11 . . . . . . . 8 fld fld fld
163 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10
164 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11
165 nfitg1 19618 . . . . . . . . . . 11
166164, 165nffv 5694 . . . . . . . . . 10
167 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10
168163, 166, 167cbvmpt 4259 . . . . . . . . 9
169116cjcld 11956 . . . . . . . . . 10
170 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . 11
17182, 83, 170mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10
172169, 171syl 16 . . . . . . . . 9
173168, 172syl5eqel 2488 . . . . . . . 8
17473, 162, 173, 87cncfmpt2f 18897 . . . . . . 7
175 cnmbf 19504 . . . . . . 7 MblFn
17646, 174, 175sylancr 645 . . . . . 6 MblFn
17745, 90, 153, 176itgabsnc 26173 . . . . 5
178177adantr 452 . . . 4
179 simpr 448 . . . . . . 7
180158adantr 452 . . . . . . . . 9
181 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . 10
182157rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11
183 iblconst 19662 . . . . . . . . . . 11
18447, 69, 182, 183syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
185181, 184syl5eqelr 2489 . . . . . . . . 9
186 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . . . 13
18782, 83, 186mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12
188182, 187syl 16 . . . . . . . . . . 11
18973, 75, 188, 151cncfmpt2f 18897 . . . . . . . . . 10
190 cnmbf 19504 . . . . . . . . . 10 MblFn
19146, 189, 190sylancr 645 . . . . . . . . 9 MblFn
192180, 185, 145, 154, 191iblsubnc 26165 . . . . . . . 8
193192adantr 452 . . . . . . 7
194 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12
195194ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11
196195adantr 452 . . . . . . . . . 10
19716, 40sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
198 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15
199198rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . 14
200197, 199resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . 13
201200adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
2026adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
203 elioore 10902 . . . . . . . . . . . . 13
204203adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
205 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15
2066, 197, 199absdifltd 12191 . . . . . . . . . . . . . . 15
207205, 206mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
208207simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
210 eliooord 10926 . . . . . . . . . . . . . 14
211210adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
212211simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
213201, 202, 204, 209, 212lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11
2148adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
215197, 199readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13
216215adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
217211simprd 450 . . . . . . . . . . . 12
218 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15
2198, 197, 199absdifltd 12191 . . . . . . . . . . . . . . 15
220218, 219mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
221220simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13
222221adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
223204, 214, 216, 217, 222lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11
224197adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
225199adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
226204, 224, 225absdifltd 12191 . . . . . . . . . . 11
227213, 223, 226mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10
228 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14
229228fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13
230229breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12
231 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15
232231oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14
233232fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13
234233breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12
235230, 234imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
236235rspcv 3008 . . . . . . . . . 10
23737, 196, 227, 236syl3c 59 . . . . . . . . 9
238 difrp 10601 . . . . . . . . . 10
239145, 180, 238syl2anc 643 . . . . . . . . 9
240237, 239mpbid 202 . . . . . . . 8
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