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Theorem ftc1cnnclem 28374
Description: Lemma for ftc1cnnc 28375; cf. ftc1lem4 21411. The stronger assumptions of ftc1cn 21415 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1cnnclem.c  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
ftc1cnnclem.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
ftc1cnnclem.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1cnnclem.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
ftc1cnnclem.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
ftc1cnnclem.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1cnnclem.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, t, A    x, B, y, z, t    x, F, y, z, t    ph, x, y, z, t    y, G, z    x, c, y, z, t    x, X, z, t    y, E, t    y, H    x, Y, t    y, R
Allowed substitution hints:    ph( c)    A( c)    B( c)    R( x, z, t, c)    E( x, z, c)    F( c)    G( x, t, c)    H( x, z, t, c)    X( y, c)    Y( y, z, c)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 11373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ssid 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
16 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
20 cncff 20369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 21407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2311, 22syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
241rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
252rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 elicc1 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <->  ( X  e.  RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) ) )
2726biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( X  e. 
RR*  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B
) )
2827simp2d 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  X  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  X
)
2924, 25, 5, 28syl21anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iccleub 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  Y  e.  ( A [,] B
) )  ->  Y  <_  B )
3124, 25, 7, 30syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
32 df-ioo 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
u  <  t  /\  t  <  v ) } )
33 xrlelttr 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  X  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  X  /\  X  <  x )  ->  A  <  x
) )
34 xrltletr 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  Y  /\  Y  <_  B )  ->  x  <  B
) )
3532, 32, 33, 34ixxss12 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  X  /\  Y  <_  B ) )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3624, 25, 29, 31, 35syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3736sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  ( A (,) B ) )
3821ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
3937, 38syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
40 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4121, 40ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  c
)  e.  CC )
4241adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
4339, 42npcand 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  =  ( F `  t
) )
4443itgeq2dv 21159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4539, 42subcld 9715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e.  CC )
46 ioombl 20946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
48 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5021feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 t ) ) )
5150, 18eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
5236, 47, 49, 51iblss 21182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
53 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 c ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )
54 mblvol 20913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y
) ) )
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol* `  ( X (,) Y ) )
56 ioossicc 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
58 iccmbl 20947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
596, 8, 58syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
60 mblss 20914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
62 mblvol 20913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol* `  ( X [,] Y
) ) )
64 iccvolcl 20948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
656, 8, 64syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
6663, 65eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
67 ovolsscl 20869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
6857, 61, 66, 67syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
6955, 68syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
70 iblconst 21195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  c ) } )  e.  L^1 )
7147, 69, 41, 70syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  c
) } )  e.  L^1 )
7253, 71syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  L^1 )
73 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7473subcn 20342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7621, 36feqresmpt 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) ) )
77 rescncf 20373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( A (,) B )  ->  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) ) )
7836, 19, 77sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
7976, 78eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
80 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
81 ax-resscn 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
8280, 81sstri 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X (,) Y )  C_  CC
83 ssid 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
84 cncfmptc 20387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  c
)  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 c ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
8582, 83, 84mp3an23 1301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  c )  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `  c ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8641, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  c
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8773, 75, 79, 86cncfmpt2f 20390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
88 cnmbf 21037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
8946, 87, 88sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e. MblFn )
9039, 52, 42, 72, 89iblsubnc 28362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  L^1 )
9143mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 t ) ) )
9291, 76eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  =  ( F  |`  ( X (,) Y
) ) )
93 iblmbf 21145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  L^1  ->  F  e. MblFn )
9418, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
95 mbfres 21022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn
)
9694, 46, 95sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) Y ) )  e. MblFn )
9792, 96eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  +  ( F `
 c ) ) )  e. MblFn )
9845, 90, 42, 72, 97itgaddnc 28361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  +  ( F `  c ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
9944, 98eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t ) )
10099adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t ) )
101 itgconst 21196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  c )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c
)  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
10247, 69, 41, 101syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t  =  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
103102adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
1046adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
1058adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
106 ovolioo 20949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
107104, 105, 11, 106syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol* `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
10855, 107syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
109108oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) )
110103, 109eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  c )  _d t  =  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
111110oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 c )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
11223, 100, 1113eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  +  ( ( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
113112oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
114 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V
115114a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  e. 
_V )
116115, 90itgcl 21161 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  e.  CC )
117116adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  e.  CC )
11841adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
1198, 6resubcld 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
120119recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
121120adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
122118, 121mulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1236, 8posdifd 9922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
124123biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
125124gt0ne0d 9900 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
126117, 122, 121, 125divdird 10141 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  +  ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
127118, 121, 125divcan4d 10109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  c
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  c
) )
128127oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  c )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  c ) ) )
129113, 126, 1283eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) ) )
130129oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  c ) )  -  ( F `
 c ) ) )
131117, 121, 125divcld 10103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
132131, 118pncand 9716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 c ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
133130, 132eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  c ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
134133fveq2d 5692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
135117, 121, 125absdivd 12937 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
136119adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
137 0re 9382 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
138 ltle 9459 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
139137, 136, 138sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
140124, 139mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
141136, 140absidd 12905 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
142141oveq2d 6106 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
143134, 135, 1423eqtrd 2477 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
144117abscld 12918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  e.  RR )
14545abscld 12918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  RR )
146 cncfss 20375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC ) )
14781, 83, 146mp2an 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC
-cn-> RR )  C_  ( CC -cn-> CC )
148 abscncf 20377 . . . . . . . . . . 11  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
149147, 148sselii 3350 . . . . . . . . . 10  |-  abs  e.  ( CC -cn-> CC )
150149a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
151150, 87cncfmpt1f 20389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
152 cnmbf 21037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
15346, 151, 152sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e. MblFn )
154115, 90, 153iblabsnc 28365 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  L^1 )
155145, 154itgrecl 21175 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  _d t  e.  RR )
156155adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  e.  RR )
157 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
158157rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
159119, 158remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
160159adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
16173mulcn 20343 . . . . . . . . 9  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
162161a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
163116cjcld 12681 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC )
164 cncfmptc 20387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  /\  ( X (,) Y )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
16582, 83, 164mp3an23 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  CC  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
166163, 165syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( * `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
167 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
168 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)
169 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  x  ->  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  =  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
170167, 168, 169cbvmpt 4379 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )
171170, 87syl5eqelr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
17273, 162, 166, 171cncfmpt2f 20390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
173 cnmbf 21037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( * `
 S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  x. 
[_ x  /  t ]_ ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e. MblFn
)
17446, 172, 173sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( * `  S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  x.  [_ x  / 
t ]_ ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) )  e. MblFn
)
17545, 90, 153, 174itgabsnc 28370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t )
176175adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )
177 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <  Y )
178158adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
179 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
180157rpcnd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
181 iblconst 21195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L^1 )
18247, 69, 180, 181syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L^1 )
183179, 182syl5eqelr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
184 cncfmptc 20387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  CC  /\  ( X (,) Y ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
18582, 83, 184mp3an23 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  CC  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
186180, 185syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
18773, 75, 186, 151cncfmpt2f 20390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )
188 cnmbf 21037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) )  ->  (
t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) ) )  e. MblFn )
18946, 187, 188sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e. MblFn )
190178, 183, 145, 154, 189iblsubnc 28362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
191190adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  L^1 )
192 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
193192ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
194193adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) )
19516, 40sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  c  e.  RR )
196 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
197196rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
198195, 197resubcld 9772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  e.  RR )
199198adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  e.  RR )
2006adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
201 elioore 11326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  t  e.  RR )
202201adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
203 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R )
2046, 195, 197absdifltd 12916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R
) ) ) )
205203, 204mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  X  /\  X  <  ( c  +  R ) ) )
206205simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  -  R
)  <  X )
207206adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  X
)
208 eliooord 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
209208adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
210209simpld 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
211199, 200, 202, 207, 210lttrd 9528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  -  R )  <  t
)
2128adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
213195, 197readdcld 9409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( c  +  R
)  e.  RR )
214213adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( c  +  R )  e.  RR )
215209simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
216 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R )
2178, 195, 197absdifltd 12916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  c )
)  <  R  <->  ( (
c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R
) ) ) )
218216, 217mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( c  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( c  +  R ) ) )
219218simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
220219adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( c  +  R ) )
221202, 212, 214, 215, 220lttrd 9528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( c  +  R ) )
222195adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  c  e.  RR )
223197adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
224202, 222, 223absdifltd 12916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c ) )  < 
R  <->  ( ( c  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( c  +  R ) ) ) )
225211, 221, 224mpbir2and 908 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
)
226 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  c )  =  ( t  -  c ) )
227226fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  c ) )  =  ( abs `  (
t  -  c ) ) )
228227breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R
) )
229 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
230229oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )
231230fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )
232231breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
) )
233228, 232imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
234233rspcv 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  c
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E ) ) )
23537, 194, 225, 234syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
236 difrp 11020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ ) )
237145, 178, 236syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  c ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ ) )
238235, 237mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  e.  RR+ )
239238adantlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  e.  RR+ )
240187adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
241177, 191, 239, 240itggt0cn 28373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) ) )  _d t )
242178, 183, 145, 154, 189itgsubnc 28363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
243242adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
244 itgconst 21196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
24547, 69, 180, 244syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
246245adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
247108oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
248180, 120mulcomd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
249248adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
250246, 247, 2493eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
251250oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
252243, 251eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) )
253241, 252breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )
254155, 159posdifd 9922 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t ) ) )
255254biimpar 482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 c ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
256253, 255syldan 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
257144, 156, 160, 176, 256lelttrd 9525 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
258158adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  E  e.  RR )
259 ltdivmul 10200 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
260144, 258, 136, 124, 259syl112anc 1217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  c )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
261257, 260mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 c ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
262143, 261eqbrtrd 4309 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  c )
) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3285    \ cdif 3322    C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   dom cdm 4836    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    x. cmul 9283   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   *ccj 12581   abscabs 12719   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17718    Cn ccn 18728    tX ctx 19033   -cn->ccncf 20352   vol*covol 20846   volcvol 20847  MblFncmbf 20994   L^1cibl 20997   S.citg 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-ibl 21002  df-itg 21003  df-0p 21048
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  28375
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