Theorem mblvol 21669

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	|- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 21667	. . 3 |- vol = ( vol* |` dom vol )
2	1	fveq1i 5858	. 2 |- ( vol ` A ) = ( ( vol* |` dom vol ) ` A )
3		fvres 5871	. 2 |- ( A e. dom vol -> ( ( vol* |` dom vol ) ` A ) = ( vol* ` A ) )
4	2, 3	syl5eq 2513	1 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1374   e. wcel 1762   dom cdm 4992   |` cres 4994   ` cfv 5579   vol*covol 21602   volcvol 21603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-iota 5542  df-fv 5587  df-vol 21605

This theorem is referenced by:  volss  21672  volun  21683  volinun  21684  volfiniun  21685  voliunlem3  21690  volsup  21694  iccvolcl  21705  ovolioo  21706  ioovolcl  21707  uniioovol  21716  uniioombllem4  21723  volcn  21743  volivth  21744  vitalilem4  21748  i1fima2  21814  i1fd  21816  i1f0rn  21817  itg1val2  21819  itg1ge0  21821  itg11  21826  i1fadd  21830  i1fmul  21831  itg1addlem2  21832  itg1addlem4  21834  i1fres  21840  itg10a  21845  itg1ge0a  21846  itg1climres  21849  mbfi1fseqlem4  21853  itg2const2  21876  itg2gt0  21895  itg2cnlem2  21897  ftc1a  22166  ftc1lem4  22168  itgulm  22530  areaf  23012  cntnevol  27689  volmeas  27693  mblfinlem3  29481  mblfinlem4  29482  ismblfin  29483  voliunnfl  29486  volsupnfl  29487  itg2addnclem  29494  itg2addnclem2  29495  itg2gt0cn  29498  ftc1cnnclem  29516  ftc1anclem7  29524  areacirc  29540  arearect  30641  areaquad  30642  volioo  31085  vol0  31096  volge0  31098  volsn  31104