Theorem mblvol 22532

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	|- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 22530	. . 3 |- vol = ( vol* |` dom vol )
2	1	fveq1i 5888	. 2 |- ( vol ` A ) = ( ( vol* |` dom vol ) ` A )
3		fvres 5901	. 2 |- ( A e. dom vol -> ( ( vol* |` dom vol ) ` A ) = ( vol* ` A ) )
4	2, 3	syl5eq 2507	1 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1454   e. wcel 1897   dom cdm 4852   |` cres 4854   ` cfv 5600   vol*covol 22461   volcvol 22463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-iota 5564  df-fv 5608  df-vol 22466

This theorem is referenced by:  volss  22535  volun  22546  volinun  22547  volfiniun  22548  voliunlem3  22553  volsup  22557  iccvolcl  22568  ovolioo  22569  ioovolcl  22570  uniioovol  22584  uniioombllem4  22592  volcn  22612  volivth  22613  vitalilem4  22617  i1fima2  22685  i1fd  22687  i1f0rn  22688  itg1val2  22690  itg1ge0  22692  itg11  22697  i1fadd  22701  i1fmul  22702  itg1addlem2  22703  itg1addlem4  22705  i1fres  22711  itg10a  22716  itg1ge0a  22717  itg1climres  22720  mbfi1fseqlem4  22724  itg2const2  22747  itg2gt0  22766  itg2cnlem2  22768  ftc1a  23037  ftc1lem4  23039  itgulm  23411  areaf  23935  cntnevol  29098  volmeas  29102  mblfinlem3  32023  mblfinlem4  32024  ismblfin  32025  voliunnfl  32028  volsupnfl  32029  itg2addnclem  32037  itg2addnclem2  32038  itg2gt0cn  32041  ftc1cnnclem  32059  ftc1anclem7  32067  areacirc  32081  arearect  36144  areaquad  36145  volioo  37862  vol0  37873  volge0  37875  volsn  37881