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Theorem etransclem23 37408
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used) (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
etransclem23.l  |-  L  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )
etransclem23.k  |-  K  =  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
etransclem23.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem23.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
etransclem23.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem23.lt1  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  <  1 )
Assertion
Ref Expression
etransclem23  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  <  1 )
Distinct variable groups:    j, M, x    P, j, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    A( x, j)    F( x, j)    K( x, j)    L( x, j)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables  h  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6  |-  K  =  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
2 etransclem23.l . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )
32oveq1i 6288 . . . . . 6  |-  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )
41, 3eqtri 2431 . . . . 5  |-  K  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )
54fveq2i 5852 . . . 4  |-  ( abs `  K )  =  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  =  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
7 fzfid 12124 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
98adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
10 elfznn0 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
1110adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
129, 11ffvelrnd 6010 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
1312zcnd 11009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
14 ere 14033 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR
1514recni 9638 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
17 elfzelz 11742 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
1817zcnd 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
1918adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
2016, 19cxpcld 23383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
2113, 20mulcld 9646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
2215a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  _e  e.  CC )
23 elioore 11612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  x  e.  CC )
2524adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  CC )
2625negcld 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  -u x  e.  CC )
2722, 26cxpcld 23383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
_e  ^c  -u x
)  e.  CC )
28 ax-resscn 9579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
3229, 30, 31etransclem8 37393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
3332adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  F : RR --> CC )
3423adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  RR )
3533, 34ffvelrnd 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3635adantlr 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3727, 36mulcld 9646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  e.  CC )
38 reelprrecn 9614 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
40 reopn 36849 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
41 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4241tgioo2 21600 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4340, 42eleqtri 2488 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4530adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4746nnnn0d 10893 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4847adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  NN0 )
49 etransclem6 37391 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^ ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P
) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P ) ) )
50 etransclem6 37391 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  k ) ^ P ) ) )
5131, 49, 503eqtri 2435 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  k ) ^ P ) ) )
52 0red 9627 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
5317zred 11008 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  RR )
5453adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  RR )
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 37403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  e.  L^1 )
5637, 55itgcl 22482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) )  _d x  e.  CC )
5721, 56mulcld 9646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  e.  CC )
587, 57fsumcl 13704 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  e.  CC )
59 nnm1nn0 10878 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
6030, 59syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
6160faccld 36885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
6261nncnd 10592 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
6361nnne0d 10621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 )
6458, 62, 63absdivd 13435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
6561nnred 10591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  RR )
6661nnnn0d 10893 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN0 )
6766nn0ge0d 10896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
6865, 67absidd 13403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )
6968oveq2d 6294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
706, 64, 693eqtrd 2447 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
712, 58syl5eqel 2494 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
7271, 62, 63divcld 10361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  CC )
731, 72syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7473abscld 13416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  e.  RR )
7570, 74eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  RR )
7646nnred 10591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7730nnnn0d 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
7876, 77reexpcld 12371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ P
)  e.  RR )
79 peano2nn0 10877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
8178, 80reexpcld 12371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
8281recnd 9652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
8346nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
8482, 83mulcomd 9647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
)  =  ( M  x.  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) ) )
8530nncnd 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
86 1cnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8785, 86npcand 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8887eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
8988oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ P
)  =  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
9080nn0cnd 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9190, 85mulcomd 9647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  P
)  =  ( P  x.  ( M  + 
1 ) ) )
9291oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
( M  +  1 )  x.  P ) )  =  ( M ^ ( P  x.  ( M  +  1
) ) ) )
9383, 77, 80expmuld 12357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
( M  +  1 )  x.  P ) )  =  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ P ) )
9483, 80, 77expmuld 12357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( P  x.  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
9592, 93, 943eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
9676, 80reexpcld 12371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
9796recnd 9652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
9897, 60expp1d 12355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )
9989, 95, 983eqtr3d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )
10099oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( M  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
10197, 60expcld 12354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  e.  CC )
10283, 101, 97mul12d 9823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
10383, 97mulcld 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
104101, 103mulcomd 9647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
105102, 104eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
10684, 100, 1053eqtrd 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
)  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
107106adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M )  =  ( ( M  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) ) ) )
108107oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) ) )
10921abscld 13416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
110109recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
111103adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
112101adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  e.  CC )
113110, 111, 112mulassd 9649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) ) )
114108, 113eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
115114sumeq2dv 13674 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
116110, 111mulcld 9646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
1177, 101, 116fsummulc1 13751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
118115, 117eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
119118oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1207, 116fsumcl 13704 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
121120, 101, 62, 63divassd 10396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
122119, 121eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
12381adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
12476adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  RR )
125123, 124remulcld 9654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M )  e.  RR )
126109, 125remulcld 9654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR )
1277, 126fsumrecl 13705 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR )
128127, 61nndivred 10625 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  e.  RR )
129122, 128eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  e.  RR )
130 1red 9641 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13158abscld 13416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  e.  RR )
13261nnrpd 11302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  RR+ )
13357abscld 13416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  e.  RR )
1347, 133fsumrecl 13705 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  e.  RR )
1357, 57fsumabs 13766 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) ) )
13681ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
137 ioombl 22267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) j )  e. 
dom  vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 (,) j )  e.  dom  vol )
139 0red 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  0  e.  RR )
140 elfzle1 11743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  j )
141 volioo 37115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  0  <_  j )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  ( j  -  0 ) )
142139, 53, 140, 141syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  ( j  -  0 ) )
14353, 139resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
j  -  0 )  e.  RR )
144142, 143eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  e.  RR )
145144adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  e.  RR )
14682adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
147 iblconstmpt 37122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,) j
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
0 (,) j ) )  e.  RR  /\  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( 0 (,) j
)  |->  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
148138, 145, 146, 147syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
149136, 148itgrecl 22496 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  e.  RR )
150109, 149remulcld 9654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  e.  RR )
1517, 150fsumrecl 13705 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  e.  RR )
15221, 56absmuld 13434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) ) )
15356abscld 13416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  e.  RR )
15421absge0d 13424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) ) )
15537abscld 13416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  e.  RR )
15637, 55iblabs 22527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( abs `  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) ) )  e.  L^1 )
157155, 156itgrecl 22496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( abs `  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x  e.  RR )
15837, 55itgabs 22533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  <_  S. ( 0 (,) j ) ( abs `  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x )
15927, 36absmuld 13434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( abs `  ( _e 
^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
16027abscld 13416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  e.  RR )
161 1red 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  1  e.  RR )
16236abscld 13416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
16327absge0d 13424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) ) )
16436absge0d 13424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  _e  e.  RR )
166 0re 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
167 epos 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <  _e
168166, 14, 167ltleii 9739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  _e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  0  <_  _e )
17023renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  -u x  e.  RR )
171165, 169, 170recxpcld 23398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  (
_e  ^c  -u x
)  e.  RR )
172165, 169, 170cxpge0d 23399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  0  <_  ( _e  ^c  -u x ) )
173171, 172absidd 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  =  ( _e  ^c  -u x ) )
174173adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  =  ( _e  ^c  -u x ) )
175171adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  e.  RR )
176 1red 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  1  e.  RR )
177 0xr 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  e.  RR* )
17953rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  RR* )
180179adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  e.  RR* )
181 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  e.  ( 0 (,) j ) )
182 ioogtlb 36897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  j  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <  x )
183178, 180, 181, 182syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  <  x
)
18423adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  e.  RR )
185184lt0neg2d 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( 0  < 
x  <->  -u x  <  0
) )
186183, 185mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  -u x  <  0
)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  _e  e.  RR )
188 1lt2 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
189 egt2lt3 14148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
190189simpli 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  _e
191 1re 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
192 2re 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR
193191, 192, 14lttri 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
194188, 190, 193mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <  _e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  1  <  _e )
196170adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  -u x  e.  RR )
197 0red 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  e.  RR )
198187, 195, 196, 197cxpltd 23394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( -u x  <  0  <->  ( _e  ^c  -u x )  < 
( _e  ^c 
0 ) ) )
199186, 198mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  < 
( _e  ^c 
0 ) )
200 cxp0 23345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( _e  e.  CC  ->  (
_e  ^c  0 )  =  1 )
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  0 )  =  1 )
202199, 201breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  <  1 )
203175, 176, 202ltled 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  <_ 
1 )
204174, 203eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  <_  1
)
205204adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  <_  1 )
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  RR  C_  CC )
20730ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  P  e.  NN )
20847ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  M  e.  NN0 )
20931, 49eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P ) ) )
21023adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  RR )
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 37398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  =  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )
212211fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
213 nn0uz 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21423adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
215 nn0re 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  NN0  ->  h  e.  RR )
216215adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  h  e.  RR )
217214, 216resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  -> 
( x  -  h
)  e.  RR )
218217adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
x  -  h )  e.  RR )
21960, 77ifcld 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
220219ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
221218, 220reexpcld 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
( x  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
222221recnd 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
( x  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  CC )
223213, 208, 222fprodabs 13930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
224 elfznn0 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  e.  ( 0 ... M )  ->  h  e.  NN0 )
22524adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
226 nn0cn 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  NN0  ->  h  e.  CC )
227226adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  h  e.  CC )
228225, 227subcld 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  -> 
( x  -  h
)  e.  CC )
229228adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
x  -  h )  e.  CC )
230224, 229sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  e.  CC )
231219ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
232230, 231absexpd 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
233232prodeq2dv 13882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
234212, 223, 2333eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
235 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ h
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )
236 fzfid 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
237224, 228sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( x  -  h )  e.  CC )
238237abscld 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( abs `  (
x  -  h ) )  e.  RR )
239238adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( x  -  h ) )  e.  RR )
240239, 231reexpcld 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
241237absge0d 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( x  -  h ) ) )
242241adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
x  -  h ) ) )
243239, 231, 242expge0d 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
24478ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ P )  e.  RR )
24576ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  RR )
246245, 231reexpcld 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
247224, 218sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  e.  RR )
24824adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  x  e.  CC )
249224, 227sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  h  e.  CC )
250248, 249negsubdi2d 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -u ( x  -  h )  =  ( h  -  x ) )
251250adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u (
x  -  h )  =  ( h  -  x ) )
252224adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  e.  NN0 )
253252nn0red 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  e.  RR )
254 0red 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
255210adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  RR )
256 elfzle2 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  ( 0 ... M )  ->  h  <_  M )
257256adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  <_  M )
258197, 184, 183ltled 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  <_  x
)
259258adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  x )
260259adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  x )
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
h  -  x )  <_  ( M  - 
0 ) )
26283subid1d 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
263262ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  0 )  =  M )
264261, 263breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
h  -  x )  <_  M )
265251, 264eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u (
x  -  h )  <_  M )
266247, 245, 265lenegcon1d 10174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u M  <_  ( x  -  h
) )
267 elfzel2 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
268267zred 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
269268adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  M  e.  RR )
27053adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  e.  RR )
271 iooltub 36916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  j  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  <  j )
272178, 180, 181, 271syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <  j
)
273 elfzle2 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  <_  M )
274273adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  <_  M
)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <  M
)
276184, 269, 275ltled 9765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <_  M
)
277276adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  <_  M )
278277adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  <_  M )
279252nn0ge0d 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  h )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  <_  ( M  - 
0 ) )
281280, 263breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  <_  M )
282247, 245absled 13411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) )  <_  M  <->  ( -u M  <_  ( x  -  h
)  /\  ( x  -  h )  <_  M
) ) )
283266, 281, 282mpbir2and 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( x  -  h ) )  <_  M )
284 leexp1a 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs `  (
x  -  h ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( abs `  ( x  -  h ) )  /\  ( abs `  ( x  -  h ) )  <_  M ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  h
) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  <_  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
28646nnge1d 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
287286ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  1  <_  M )
288219nn0zd 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  ZZ )
28977nn0zd 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
290 iftrue 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
291290adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
29230nnred 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
293292lem1d 10519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  <_  P )
294293adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  ( P  -  1 )  <_  P )
295291, 294eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
296 iffalse 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
297296adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
298292leidd 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  <_  P )
299298adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  P  <_  P )
300297, 299eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
301295, 300pm2.61dan 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <_  P
)
302 eluz2 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  <->  ( if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
)
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )
304303ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  if (
h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
305245, 287, 304leexp2ad 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ P ) )
306240, 246, 244, 285, 305letrd 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ P ) )
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 36972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  ( x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
) )
30878recnd 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ P
)  e.  CC )
309 fprodconst 13934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0 ... M
)  e.  Fin  /\  ( M ^ P )  e.  CC )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P )  =  ( ( M ^ P ) ^
( # `  ( 0 ... M ) ) ) )
3107, 308, 309syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( # `  (
0 ... M ) ) ) )
311 hashfz0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... M
) )  =  ( M  +  1 ) )
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... M ) )  =  ( M  + 
1 ) )
313312oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( # `
 ( 0 ... M ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
314310, 313eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
315314ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
316307, 315breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  ( x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
317234, 316eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 10528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) ) )
31982mulid2d 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
320319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
1  x.  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
321318, 320breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
322159, 321eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
323156, 148, 155, 136, 322itgle 22508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( abs `  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x  <_  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x )
324153, 157, 149, 158, 323letrd 9773 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  <_  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x )
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 10526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x ) )
326152, 325eqbrtrd 4415 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x ) )
3277, 133, 150, 326fsumle 13764 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x ) )
328 itgconst 22517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,) j
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
0 (,) j ) )  e.  RR  /\  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x  =  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  ( vol `  ( 0 (,) j
) ) ) )
329138, 145, 146, 328syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  =  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  ( vol `  (
0 (,) j ) ) ) )
33047nn0ge0d 10896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
33176, 77, 330expge0d 12372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M ^ P ) )
33278, 80, 331expge0d 12372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
333332adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
33418subid1d 9956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
j  -  0 )  =  j )
335142, 334eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  j )
336335, 273eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  <_  M )
337336adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  <_  M )
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 10526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  ( vol `  ( 0 (,) j
) ) )  <_ 
( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
) )
339329, 338eqbrtrd 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  <_  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  M ) )
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 10526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  M ) ) )
3417, 150, 126, 340fsumle 13764 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
342134, 151, 127, 327, 341letrd 9773 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
343131, 134, 127, 135, 342letrd 9773 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
344131, 127, 132, 343lediv1dd 11358 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
345344, 122breqtrd 4419 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
346 etransclem23.lt1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  <  1 )
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 9774 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <  1 )
34870, 347eqbrtrd 4415 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  <  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ifcif 3885   {cpr 3974   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   3c3 10627   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   (,)cioo 11582   ...cfz 11726   ^cexp 12210   !cfa 12397   #chash 12452   abscabs 13216   sum_csu 13657   prod_cprod 13864   _eceu 14007   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂfldccnfld 18740   volcvol 22167   L^1cibl 22318   S.citg 22319    ^c ccxp 23235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-prod 13865  df-ef 14012  df-e 14013  df-sin 14014  df-cos 14015  df-tan 14016  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-itg 22324  df-0p 22369  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-cxp 23237
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