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Theorem etransclem23 38234
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
etransclem23.l  |-  L  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )
etransclem23.k  |-  K  =  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
etransclem23.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem23.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
etransclem23.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem23.lt1  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  <  1 )
Assertion
Ref Expression
etransclem23  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  <  1 )
Distinct variable groups:    j, M, x    P, j, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    A( x, j)    F( x, j)    K( x, j)    L( x, j)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables  h  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6  |-  K  =  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
2 etransclem23.l . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )
32oveq1i 6318 . . . . . 6  |-  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )
41, 3eqtri 2493 . . . . 5  |-  K  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )
54fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( abs `  K )  =  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  =  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
7 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
98adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
10 elfznn0 11913 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
1110adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
129, 11ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
1312zcnd 11064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
14 ere 14220 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR
1514recni 9673 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
17 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
1817zcnd 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
1918adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
2016, 19cxpcld 23732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
2113, 20mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
2215a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  _e  e.  CC )
23 elioore 11691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  x  e.  CC )
2524adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  CC )
2625negcld 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  -u x  e.  CC )
2722, 26cxpcld 23732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
_e  ^c  -u x
)  e.  CC )
28 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
3229, 30, 31etransclem8 38219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
3332adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  F : RR --> CC )
3423adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  RR )
3533, 34ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3635adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3727, 36mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  e.  CC )
38 reelprrecn 9649 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
40 reopn 37591 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4241tgioo2 21899 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4340, 42eleqtri 2547 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4530adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4746nnnn0d 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4847adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  NN0 )
49 etransclem6 38217 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^ ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P
) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P ) ) )
50 etransclem6 38217 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  k ) ^ P ) ) )
5131, 49, 503eqtri 2497 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  k ) ^ P ) ) )
52 0red 9662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
5317zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  RR )
5453adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  RR )
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 38229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  e.  L^1 )
5637, 55itgcl 22820 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) )  _d x  e.  CC )
5721, 56mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  e.  CC )
587, 57fsumcl 13876 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  e.  CC )
59 nnm1nn0 10935 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
6030, 59syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
6160faccld 37621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
6261nncnd 10647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
6361nnne0d 10676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 )
6458, 62, 63absdivd 13594 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
6561nnred 10646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  RR )
6661nnnn0d 10949 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN0 )
6766nn0ge0d 10952 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
6865, 67absidd 13561 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )
6968oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
706, 64, 693eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
712, 58syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
7271, 62, 63divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  CC )
731, 72syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7473abscld 13575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  e.  RR )
7570, 74eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  RR )
7646nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7730nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
7876, 77reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ P
)  e.  RR )
79 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
8178, 80reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
8281recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
8346nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
8482, 83mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
)  =  ( M  x.  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) ) )
8530nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
86 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8785, 86npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8887eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
8988oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ P
)  =  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
9080nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9190, 85mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  P
)  =  ( P  x.  ( M  + 
1 ) ) )
9291oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
( M  +  1 )  x.  P ) )  =  ( M ^ ( P  x.  ( M  +  1
) ) ) )
9383, 77, 80expmuld 12457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
( M  +  1 )  x.  P ) )  =  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ P ) )
9483, 80, 77expmuld 12457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( P  x.  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
9592, 93, 943eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
9676, 80reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
9796recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
9897, 60expp1d 12455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )
9989, 95, 983eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )
10099oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( M  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
10197, 60expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  e.  CC )
10283, 101, 97mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
10383, 97mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
104101, 103mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
105102, 104eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
10684, 100, 1053eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
)  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M )  =  ( ( M  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) ) ) )
108107oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) ) )
10921abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
110109recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
111103adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
112101adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  e.  CC )
113110, 111, 112mulassd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) ) )
114108, 113eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
115114sumeq2dv 13846 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
116110, 111mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
1177, 101, 116fsummulc1 13923 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
118115, 117eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
119118oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1207, 116fsumcl 13876 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
121120, 101, 62, 63divassd 10440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
122119, 121eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
12381adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
12476adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  RR )
125123, 124remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M )  e.  RR )
126109, 125remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR )
1277, 126fsumrecl 13877 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR )
128127, 61nndivred 10680 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  e.  RR )
129122, 128eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  e.  RR )
130 1red 9676 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13158abscld 13575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  e.  RR )
13261nnrpd 11362 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  RR+ )
13357abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  e.  RR )
1347, 133fsumrecl 13877 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  e.  RR )
1357, 57fsumabs 13938 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) ) )
13681ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
137 ioombl 22597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) j )  e. 
dom  vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 (,) j )  e.  dom  vol )
139 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  0  e.  RR )
140 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  j )
141 volioo 37922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  0  <_  j )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  ( j  -  0 ) )
142139, 53, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  ( j  -  0 ) )
14353, 139resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
j  -  0 )  e.  RR )
144142, 143eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  e.  RR )
145144adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  e.  RR )
14682adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
147 iblconstmpt 37929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,) j
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
0 (,) j ) )  e.  RR  /\  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( 0 (,) j
)  |->  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
148138, 145, 146, 147syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
149136, 148itgrecl 22834 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  e.  RR )
150109, 149remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  e.  RR )
1517, 150fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  e.  RR )
15221, 56absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) ) )
15356abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  e.  RR )
15421absge0d 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) ) )
15537abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  e.  RR )
15637, 55iblabs 22865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( abs `  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) ) )  e.  L^1 )
157155, 156itgrecl 22834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( abs `  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x  e.  RR )
15837, 55itgabs 22871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  <_  S. ( 0 (,) j ) ( abs `  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x )
15927, 36absmuld 13593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( abs `  ( _e 
^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
16027abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  e.  RR )
161 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  1  e.  RR )
16236abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
16327absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) ) )
16436absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  _e  e.  RR )
166 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
167 epos 14336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <  _e
168166, 14, 167ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  _e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  0  <_  _e )
17023renegcld 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  -u x  e.  RR )
171165, 169, 170recxpcld 23747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  (
_e  ^c  -u x
)  e.  RR )
172165, 169, 170cxpge0d 23748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  0  <_  ( _e  ^c  -u x ) )
173171, 172absidd 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  =  ( _e  ^c  -u x ) )
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  =  ( _e  ^c  -u x ) )
175171adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  e.  RR )
176 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  1  e.  RR )
177 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  e.  RR* )
17953rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  RR* )
180179adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  e.  RR* )
181 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  e.  ( 0 (,) j ) )
182 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  j  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <  x )
183178, 180, 181, 182syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  <  x
)
18423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  e.  RR )
185184lt0neg2d 10205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( 0  < 
x  <->  -u x  <  0
) )
186183, 185mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  -u x  <  0
)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  _e  e.  RR )
188 1lt2 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
189 egt2lt3 14335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
190189simpli 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  _e
191 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
192 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR
193191, 192, 14lttri 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
194188, 190, 193mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <  _e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  1  <  _e )
196170adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  -u x  e.  RR )
197 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  e.  RR )
198187, 195, 196, 197cxpltd 23743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( -u x  <  0  <->  ( _e  ^c  -u x )  < 
( _e  ^c 
0 ) ) )
199186, 198mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  < 
( _e  ^c 
0 ) )
200 cxp0 23694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( _e  e.  CC  ->  (
_e  ^c  0 )  =  1 )
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  0 )  =  1 )
202199, 201breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  <  1 )
203175, 176, 202ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  <_ 
1 )
204174, 203eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  <_  1
)
205204adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  <_  1 )
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  RR  C_  CC )
20730ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  P  e.  NN )
20847ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  M  e.  NN0 )
20931, 49eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P ) ) )
21023adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  RR )
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 38224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  =  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )
212211fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
213 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
215 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  NN0  ->  h  e.  RR )
216215adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  h  e.  RR )
217214, 216resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  -> 
( x  -  h
)  e.  RR )
218217adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
x  -  h )  e.  RR )
21960, 77ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
220219ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
221218, 220reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
( x  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
222221recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
( x  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  CC )
223213, 208, 222fprodabs 14105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
224 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  e.  ( 0 ... M )  ->  h  e.  NN0 )
22524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
226 nn0cn 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  NN0  ->  h  e.  CC )
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  h  e.  CC )
228225, 227subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  -> 
( x  -  h
)  e.  CC )
229228adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
x  -  h )  e.  CC )
230224, 229sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  e.  CC )
231219ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
232230, 231absexpd 13591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
233232prodeq2dv 14054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
234212, 223, 2333eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
235 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ h
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )
236 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
237224, 228sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( x  -  h )  e.  CC )
238237abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( abs `  (
x  -  h ) )  e.  RR )
239238adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( x  -  h ) )  e.  RR )
240239, 231reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
241237absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( x  -  h ) ) )
242241adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
x  -  h ) ) )
243239, 231, 242expge0d 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
24478ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ P )  e.  RR )
24576ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  RR )
246245, 231reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
247224, 218sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  e.  RR )
24824adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  x  e.  CC )
249224, 227sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  h  e.  CC )
250248, 249negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -u ( x  -  h )  =  ( h  -  x ) )
251250adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u (
x  -  h )  =  ( h  -  x ) )
252224adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  e.  NN0 )
253252nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  e.  RR )
254 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
255210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  RR )
256 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  ( 0 ... M )  ->  h  <_  M )
257256adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  <_  M )
258197, 184, 183ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  <_  x
)
259258adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  x )
260259adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  x )
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
h  -  x )  <_  ( M  - 
0 ) )
26283subid1d 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
263262ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  0 )  =  M )
264261, 263breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
h  -  x )  <_  M )
265251, 264eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u (
x  -  h )  <_  M )
266247, 245, 265lenegcon1d 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u M  <_  ( x  -  h
) )
267 elfzel2 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
268267zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
269268adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  M  e.  RR )
27053adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  e.  RR )
271 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  j  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  <  j )
272178, 180, 181, 271syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <  j
)
273 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  <_  M )
274273adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  <_  M
)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <  M
)
276184, 269, 275ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <_  M
)
277276adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  <_  M )
278277adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  <_  M )
279252nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  h )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  <_  ( M  - 
0 ) )
281280, 263breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  <_  M )
282247, 245absled 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) )  <_  M  <->  ( -u M  <_  ( x  -  h
)  /\  ( x  -  h )  <_  M
) ) )
283266, 281, 282mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( x  -  h ) )  <_  M )
284 leexp1a 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs `  (
x  -  h ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( abs `  ( x  -  h ) )  /\  ( abs `  ( x  -  h ) )  <_  M ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  h
) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  <_  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
28646nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
287286ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  1  <_  M )
288219nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  ZZ )
28977nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
290 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
291290adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
29230nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
293292lem1d 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  <_  P )
294293adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  ( P  -  1 )  <_  P )
295291, 294eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
296 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
297296adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
298292leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  <_  P )
299298adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  P  <_  P )
300297, 299eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
301295, 300pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <_  P
)
302 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  <->  ( if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
)
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )
304303ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  if (
h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
305245, 287, 304leexp2ad 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ P ) )
306240, 246, 244, 285, 305letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ P ) )
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 14127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  ( x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
) )
30878recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ P
)  e.  CC )
309 fprodconst 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0 ... M
)  e.  Fin  /\  ( M ^ P )  e.  CC )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P )  =  ( ( M ^ P ) ^
( # `  ( 0 ... M ) ) ) )
3107, 308, 309syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( # `  (
0 ... M ) ) ) )
311 hashfz0 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... M
) )  =  ( M  +  1 ) )
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... M ) )  =  ( M  + 
1 ) )
313312oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( # `
 ( 0 ... M ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
314310, 313eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
315314ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
316307, 315breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  ( x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
317234, 316eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) ) )
31982mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
320319ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
1  x.  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
321318, 320breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
322159, 321eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
323156, 148, 155, 136, 322itgle 22846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( abs `  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x  <_  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x )
324153, 157, 149, 158, 323letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  <_  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x )
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 10569 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x ) )
326152, 325eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x ) )
3277, 133, 150, 326fsumle 13936 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x ) )
328 itgconst 22855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,) j
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
0 (,) j ) )  e.  RR  /\  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x  =  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  ( vol `  ( 0 (,) j
) ) ) )
329138, 145, 146, 328syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  =  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  ( vol `  (
0 (,) j ) ) ) )
33047nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
33176, 77, 330expge0d 12472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M ^ P ) )
33278, 80, 331expge0d 12472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
333332adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
33418subid1d 9994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
j  -  0 )  =  j )
335142, 334eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  j )
336335, 273eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  <_  M )
337336adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  <_  M )
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  ( vol `  ( 0 (,) j
) ) )  <_ 
( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
) )
339329, 338eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  <_  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  M ) )
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 10569 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  M ) ) )
3417, 150, 126, 340fsumle 13936 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
342134, 151, 127, 327, 341letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
343131, 134, 127, 135, 342letrd 9809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
344131, 127, 132, 343lediv1dd 11419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
345344, 122breqtrd 4420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
346 etransclem23.lt1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  <  1 )
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 9810 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <  1 )
34870, 347eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  <  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   #chash 12553   abscabs 13374   sum_csu 13829   prod_cprod 14036   _eceu 14192   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655    ^c ccxp 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-tan 14202  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586
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