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Theorem etransclem23 37986
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used) (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
etransclem23.l  |-  L  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )
etransclem23.k  |-  K  =  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
etransclem23.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
etransclem23.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
etransclem23.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
etransclem23.lt1  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  <  1 )
Assertion
Ref Expression
etransclem23  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  <  1 )
Distinct variable groups:    j, M, x    P, j, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    A( x, j)    F( x, j)    K( x, j)    L( x, j)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables  h  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6  |-  K  =  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
2 etransclem23.l . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )
32oveq1i 6313 . . . . . 6  |-  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )
41, 3eqtri 2452 . . . . 5  |-  K  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )
54fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( abs `  K )  =  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  =  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
7 fzfid 12187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
98adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
10 elfznn0 11889 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
1110adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
129, 11ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
1312zcnd 11043 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
14 ere 14136 . . . . . . . . . 10  |-  _e  e.  RR
1514recni 9657 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  CC
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
17 elfzelz 11802 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
1817zcnd 11043 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
1918adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
2016, 19cxpcld 23645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
2113, 20mulcld 9665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
2215a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  _e  e.  CC )
23 elioore 11668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  x  e.  CC )
2524adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  CC )
2625negcld 9975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  -u x  e.  CC )
2722, 26cxpcld 23645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
_e  ^c  -u x
)  e.  CC )
28 ax-resscn 9598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P ) ) )
3229, 30, 31etransclem8 37971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
3332adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  F : RR --> CC )
3423adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  RR )
3533, 34ffvelrnd 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3635adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3727, 36mulcld 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  e.  CC )
38 reelprrecn 9633 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
40 reopn 37388 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  ( topGen `  ran  (,) )
41 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4241tgioo2 21813 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4340, 42eleqtri 2509 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4443a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  RR  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4530adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  NN )
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4746nnnn0d 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4847adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  NN0 )
49 etransclem6 37969 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^ ( P  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ P
) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P ) ) )
50 etransclem6 37969 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  k ) ^ P ) ) )
5131, 49, 503eqtri 2456 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  k ) ^ P ) ) )
52 0red 9646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
5317zred 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  RR )
5453adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  RR )
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 37981 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  e.  L^1 )
5637, 55itgcl 22733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) )  _d x  e.  CC )
5721, 56mulcld 9665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  e.  CC )
587, 57fsumcl 13792 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  e.  CC )
59 nnm1nn0 10913 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
6030, 59syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
6160faccld 37419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN )
6261nncnd 10627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  CC )
6361nnne0d 10656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  =/=  0 )
6458, 62, 63absdivd 13510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1 ) ) ) ) )
6561nnred 10626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  RR )
6661nnnn0d 10927 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  NN0 )
6766nn0ge0d 10930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )
6865, 67absidd 13478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  =  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )
6968oveq2d 6319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
706, 64, 693eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  =  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
712, 58syl5eqel 2515 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
7271, 62, 63divcld 10385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  CC )
731, 72syl5eqel 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7473abscld 13491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  e.  RR )
7570, 74eqeltrrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  e.  RR )
7646nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
7730nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
7876, 77reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ P
)  e.  RR )
79 peano2nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
8178, 80reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
8281recnd 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
8346nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
8482, 83mulcomd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
)  =  ( M  x.  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) ) )
8530nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
86 1cnd 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8785, 86npcand 9992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  +  1 )  =  P )
8887eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( P  -  1 )  +  1 ) )
8988oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ P
)  =  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( ( P  -  1 )  +  1 ) ) )
9080nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9190, 85mulcomd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  P
)  =  ( P  x.  ( M  + 
1 ) ) )
9291oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
( M  +  1 )  x.  P ) )  =  ( M ^ ( P  x.  ( M  +  1
) ) ) )
9383, 77, 80expmuld 12420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ (
( M  +  1 )  x.  P ) )  =  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ P ) )
9483, 80, 77expmuld 12420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( P  x.  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
9592, 93, 943eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
9676, 80reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
9796recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
9897, 60expp1d 12418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ (
( P  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )
9989, 95, 983eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )
10099oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( M  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
10197, 60expcld 12417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  e.  CC )
10283, 101, 97mul12d 9844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
10383, 97mulcld 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
104101, 103mulcomd 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
105102, 104eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
10684, 100, 1053eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
)  =  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
107106adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M )  =  ( ( M  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) ) ) )
108107oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) ) )
10921abscld 13491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
110109recnd 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
111103adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
112101adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  e.  CC )
113110, 111, 112mulassd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) ) )
114108, 113eqtr4d 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
115114sumeq2dv 13762 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^
( M  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( P  -  1 ) ) ) )
116110, 111mulcld 9665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
1177, 101, 116fsummulc1 13839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
118115, 117eqtr4d 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) ) )
119118oveq1d 6318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )
1207, 116fsumcl 13792 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
121120, 101, 62, 63divassd 10420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  - 
1 ) ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
122119, 121eqtrd 2464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
12381adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
12476adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  RR )
125123, 124remulcld 9673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M )  e.  RR )
126109, 125remulcld 9673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR )
1277, 126fsumrecl 13793 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR )
128127, 61nndivred 10660 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) )  e.  RR )
129122, 128eqeltrrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  e.  RR )
130 1red 9660 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
13158abscld 13491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  e.  RR )
13261nnrpd 11341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( P  -  1 ) )  e.  RR+ )
13357abscld 13491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  e.  RR )
1347, 133fsumrecl 13793 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  e.  RR )
1357, 57fsumabs 13854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) ) )
13681ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
137 ioombl 22510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) j )  e. 
dom  vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0 (,) j )  e.  dom  vol )
139 0red 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  0  e.  RR )
140 elfzle1 11804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  j )
141 volioo 37689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  0  <_  j )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  ( j  -  0 ) )
142139, 53, 140, 141syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  ( j  -  0 ) )
14353, 139resubcld 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
j  -  0 )  e.  RR )
144142, 143eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  e.  RR )
145144adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  e.  RR )
14682adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
147 iblconstmpt 37696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,) j
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
0 (,) j ) )  e.  RR  /\  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( 0 (,) j
)  |->  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
148138, 145, 146, 147syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
149136, 148itgrecl 22747 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  e.  RR )
150109, 149remulcld 9673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  e.  RR )
1517, 150fsumrecl 13793 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  e.  RR )
15221, 56absmuld 13509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) ) )  x.  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) ) )
15356abscld 13491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  e.  RR )
15421absge0d 13499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) ) )
15537abscld 13491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  e.  RR )
15637, 55iblabs 22778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) j )  |->  ( abs `  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) ) )  e.  L^1 )
157155, 156itgrecl 22747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( abs `  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x  e.  RR )
15837, 55itgabs 22784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  <_  S. ( 0 (,) j ) ( abs `  ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x )
15927, 36absmuld 13509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( abs `  ( _e 
^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
16027abscld 13491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  e.  RR )
161 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  1  e.  RR )
16236abscld 13491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
16327absge0d 13499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) ) )
16436absge0d 13499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  _e  e.  RR )
166 0re 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
167 epos 14252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <  _e
168166, 14, 167ltleii 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  _e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  0  <_  _e )
17023renegcld 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  -u x  e.  RR )
171165, 169, 170recxpcld 23660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  (
_e  ^c  -u x
)  e.  RR )
172165, 169, 170cxpge0d 23661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  0  <_  ( _e  ^c  -u x ) )
173171, 172absidd 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 (,) j )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  =  ( _e  ^c  -u x ) )
174173adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  =  ( _e  ^c  -u x ) )
175171adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  e.  RR )
176 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  1  e.  RR )
177 0xr 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  e.  RR* )
17953rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  RR* )
180179adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  e.  RR* )
181 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  e.  ( 0 (,) j ) )
182 ioogtlb 37467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  j  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <  x )
183178, 180, 181, 182syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  <  x
)
18423adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  e.  RR )
185184lt0neg2d 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( 0  < 
x  <->  -u x  <  0
) )
186183, 185mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  -u x  <  0
)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  _e  e.  RR )
188 1lt2 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
189 egt2lt3 14251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
190189simpli 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  _e
191 1re 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
192 2re 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR
193191, 192, 14lttri 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  <  2  /\  2  <  _e )  ->  1  <  _e )
194188, 190, 193mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <  _e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  1  <  _e )
196170adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  -u x  e.  RR )
197 0red 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  e.  RR )
198187, 195, 196, 197cxpltd 23656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( -u x  <  0  <->  ( _e  ^c  -u x )  < 
( _e  ^c 
0 ) ) )
199186, 198mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  < 
( _e  ^c 
0 ) )
200 cxp0 23607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( _e  e.  CC  ->  (
_e  ^c  0 )  =  1 )
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  0 )  =  1 )
202199, 201breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  <  1 )
203175, 176, 202ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( _e  ^c  -u x )  <_ 
1 )
204174, 203eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  ( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  <_  1
)
205204adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( _e  ^c  -u x ) )  <_  1 )
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  RR  C_  CC )
20730ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  P  e.  NN )
20847ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  M  e.  NN0 )
20931, 49eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( P  -  1 ) )  x.  prod_ h  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  h ) ^ P ) ) )
21023adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  e.  RR )
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 37976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( F `  x )  =  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )
212211fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
213 nn0uz 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21423adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
215 nn0re 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  NN0  ->  h  e.  RR )
216215adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  h  e.  RR )
217214, 216resubcld 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  -> 
( x  -  h
)  e.  RR )
218217adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
x  -  h )  e.  RR )
21960, 77ifcld 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  NN0 )
220219ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
221218, 220reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
( x  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
222221recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
( x  -  h
) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  CC )
223213, 208, 222fprodabs 14021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) ) )
224 elfznn0 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  e.  ( 0 ... M )  ->  h  e.  NN0 )
22524adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  x  e.  CC )
226 nn0cn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( h  e.  NN0  ->  h  e.  CC )
227226adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  ->  h  e.  CC )
228225, 227subcld 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  NN0 )  -> 
( x  -  h
)  e.  CC )
229228adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e. 
NN0 )  ->  (
x  -  h )  e.  CC )
230224, 229sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  e.  CC )
231219ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )
232230, 231absexpd 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
233232prodeq2dv 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  ( ( x  -  h ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
234212, 223, 2333eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  = 
prod_ h  e.  (
0 ... M ) ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
235 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ h
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )
236 fzfid 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
237224, 228sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( x  -  h )  e.  CC )
238237abscld 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( abs `  (
x  -  h ) )  e.  RR )
239238adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( x  -  h ) )  e.  RR )
240239, 231reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
241237absge0d 13499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( x  -  h ) ) )
242241adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
x  -  h ) ) )
243239, 231, 242expge0d 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
24478ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ P )  e.  RR )
24576ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  RR )
246245, 231reexpcld 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  e.  RR )
247224, 218sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  e.  RR )
24824adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  x  e.  CC )
249224, 227sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  h  e.  CC )
250248, 249negsubdi2d 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) j )  /\  h  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -u ( x  -  h )  =  ( h  -  x ) )
251250adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u (
x  -  h )  =  ( h  -  x ) )
252224adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  e.  NN0 )
253252nn0red 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  e.  RR )
254 0red 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  e.  RR )
255210adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  e.  RR )
256 elfzle2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  ( 0 ... M )  ->  h  <_  M )
257256adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  h  <_  M )
258197, 184, 183ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  0  <_  x
)
259258adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  0  <_  x )
260259adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  x )
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
h  -  x )  <_  ( M  - 
0 ) )
26283subid1d 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
263262ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  -  0 )  =  M )
264261, 263breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
h  -  x )  <_  M )
265251, 264eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u (
x  -  h )  <_  M )
266247, 245, 265lenegcon1d 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  -u M  <_  ( x  -  h
) )
267 elfzel2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
268267zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
269268adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  M  e.  RR )
27053adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  e.  RR )
271 iooltub 37485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  j  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  <  j )
272178, 180, 181, 271syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <  j
)
273 elfzle2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  <_  M )
274273adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  j  <_  M
)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <  M
)
276184, 269, 275ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ( 0 ... M )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  ->  x  <_  M
)
277276adantll 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  x  <_  M )
278277adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  x  <_  M )
279252nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  h )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  <_  ( M  - 
0 ) )
281280, 263breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
x  -  h )  <_  M )
282247, 245absled 13486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) )  <_  M  <->  ( -u M  <_  ( x  -  h
)  /\  ( x  -  h )  <_  M
) ) )
283266, 281, 282mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( x  -  h ) )  <_  M )
284 leexp1a 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs `  (
x  -  h ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  ( abs `  ( x  -  h ) )  /\  ( abs `  ( x  -  h ) )  <_  M ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  h
) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  <_  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
28646nnge1d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
287286ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  1  <_  M )
288219nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  e.  ZZ )
28977nn0zd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
290 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
291290adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  ( P  -  1 ) )
29230nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
293292lem1d 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  <_  P )
294293adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  ( P  -  1 )  <_  P )
295291, 294eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  h  = 
0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
296 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  h  =  0  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
297296adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  =  P )
298292leidd 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  <_  P )
299298adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  P  <_  P )
300297, 299eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -.  h  =  0 )  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
301295, 300pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P )  <_  P
)
302 eluz2 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) )  <->  ( if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
)  <_  P )
)
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  if ( h  =  0 ,  ( P  - 
1 ) ,  P
) ) )
304303ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  if (
h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) ) )
305245, 287, 304leexp2ad 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ P ) )
306240, 246, 244, 285, 305letrd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j ) )  /\  h  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( M ^ P ) )
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 14043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  ( x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
) )
30878recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ P
)  e.  CC )
309 fprodconst 14025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0 ... M
)  e.  Fin  /\  ( M ^ P )  e.  CC )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P )  =  ( ( M ^ P ) ^
( # `  ( 0 ... M ) ) ) )
3107, 308, 309syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( # `  (
0 ... M ) ) ) )
311 hashfz0 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... M
) )  =  ( M  +  1 ) )
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  (
0 ... M ) )  =  ( M  + 
1 ) )
313312oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M ^ P ) ^ ( # `
 ( 0 ... M ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
314310, 313eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P
)  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
315314ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( M ^ P )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
316307, 315breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  prod_ h  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  ( x  -  h ) ) ^ if ( h  =  0 ,  ( P  -  1 ) ,  P ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
317234, 316eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 10551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) ) )
31982mulid2d 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
320319ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
1  x.  ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) ) )  =  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
321318, 320breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  (
( abs `  (
_e  ^c  -u x
) )  x.  ( abs `  ( F `  x ) ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
322159, 321eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  ( 0 (,) j
) )  ->  ( abs `  ( ( _e 
^c  -u x
)  x.  ( F `
 x ) ) )  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
323156, 148, 155, 136, 322itgle 22759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( abs `  (
( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
) )  _d x  <_  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x )
324153, 157, 149, 158, 323letrd 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x )  <_  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x )
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 10549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( abs `  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x ) )
326152, 325eqbrtrd 4442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x )
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x ) )
3277, 133, 150, 326fsumle 13852 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x ) )
328 itgconst 22768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0 (,) j
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
0 (,) j ) )  e.  RR  /\  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P
) ^ ( M  +  1 ) )  _d x  =  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  ( vol `  ( 0 (,) j
) ) ) )
329138, 145, 146, 328syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  =  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  ( vol `  (
0 (,) j ) ) ) )
33047nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
33176, 77, 330expge0d 12435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M ^ P ) )
33278, 80, 331expge0d 12435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) ) )
333332adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  0  <_  ( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) ) )
33418subid1d 9977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
j  -  0 )  =  j )
335142, 334eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  =  j )
336335, 273eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  <_  M )
337336adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( vol `  ( 0 (,) j ) )  <_  M )
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 10549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  ( vol `  ( 0 (,) j
) ) )  <_ 
( ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  x.  M
) )
339329, 338eqbrtrd 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x  <_  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  M ) )
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 10549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  <_  ( ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  x.  ( ( ( M ^ P ) ^ ( M  + 
1 ) )  x.  M ) ) )
3417, 150, 126, 340fsumle 13852 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  S. ( 0 (,) j
) ( ( M ^ P ) ^
( M  +  1 ) )  _d x )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
342134, 151, 127, 327, 341letrd 9794 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( abs `  (
( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
343131, 134, 127, 135, 342letrd 9794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  <_  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) ) )
344131, 127, 132, 343lediv1dd 11398 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  (
( ( M ^ P ) ^ ( M  +  1 ) )  x.  M ) )  /  ( ! `
 ( P  - 
1 ) ) ) )
345344, 122breqtrd 4446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <_  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) ) )
346 etransclem23.lt1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( P  -  1 ) )  /  ( ! `  ( P  -  1
) ) ) )  <  1 )
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 9795 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( F `  x
) )  _d x ) )  /  ( ! `  ( P  -  1 ) ) )  <  1 )
34870, 347eqbrtrd 4442 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  K
)  <  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    C_ wss 3437   ifcif 3910   {cpr 3999   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   3c3 10662   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   (,)cioo 11637   ...cfz 11786   ^cexp 12273   !cfa 12460   #chash 12516   abscabs 13291   sum_csu 13745   prod_cprod 13952   _eceu 14108   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   volcvol 22407   L^1cibl 22567   S.citg 22568    ^c ccxp 23497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cc 8867  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-prod 13953  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-tan 14118  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-cmp 20394  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-ovol 22408  df-vol 22410  df-mbf 22569  df-itg1 22570  df-itg2 22571  df-ibl 22572  df-itg 22573  df-0p 22620  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-cxp 23499
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