Theorem lttri 10042

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
lt.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lttri	⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lt.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
4		lttr 9993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1416	1 ⊢ ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  1lt3  11073  2lt4  11075  1lt4  11076  3lt5  11078  2lt5  11079  1lt5  11080  4lt6  11082  3lt6  11083  2lt6  11084  1lt6  11085  5lt7  11087  4lt7  11088  3lt7  11089  2lt7  11090  1lt7  11091  6lt8  11093  5lt8  11094  4lt8  11095  3lt8  11096  2lt8  11097  1lt8  11098  7lt9  11100  6lt9  11101  5lt9  11102  4lt9  11103  3lt9  11104  2lt9  11105  1lt9  11106  8lt10OLD  11108  7lt10OLD  11109  6lt10OLD  11110  5lt10OLD  11111  4lt10OLD  11112  3lt10OLD  11113  2lt10OLD  11114  1lt10OLD  11115  8lt10  11550  7lt10  11551  6lt10  11552  5lt10  11553  4lt10  11554  3lt10  11555  2lt10  11556  1lt10  11557  sincos2sgn  14763  epos  14774  ene1  14777  dvdslelem  14869  oppcbas  16201  sralem  18998  zlmlem  19684  psgnodpmr  19755  tnglem  22254  xrhmph  22554  vitalilem4  23186  pipos  24016  logneg  24138  asin1  24421  reasinsin  24423  atan1  24455  log2le1  24477  bposlem8  24816  bposlem9  24817  chebbnd1lem2  24959  chebbnd1lem3  24960  chebbnd1  24961  mulog2sumlem2  25024  pntibndlem1  25078  pntlemb  25086  pntlemk  25095  ttglem  25556  cchhllem  25567  axlowdimlem16  25637  sgnnbi  29934  sgnpbi  29935  signswch  29964  logi  30873  cnndvlem1  31698  bj-minftyccb  32289  bj-pinftynminfty  32291  asindmre  32665  fdc  32711  fourierdlem94  39093  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem112  39111  fourierdlem113  39112  fourierdlem114  39113  fouriersw  39124  etransclem23  39150