Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzpreddisj 12260
 Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 3767 . 2 ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀})
2 0lt1 10429 . . . . . . . 8 0 < 1
3 0re 9919 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
4 1re 9918 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
53, 4ltnlei 10037 . . . . . . . 8 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
62, 5mpbi 219 . . . . . . 7 ¬ 1 ≤ 0
7 eluzel2 11568 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
87zred 11358 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
9 leaddle0 10422 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
108, 4, 9sylancl 693 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
116, 10mtbiri 316 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
1211intnanrd 954 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁))
1312intnand 953 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁)))
14 elfz2 12204 . . . 4 (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑁)))
1513, 14sylnibr 318 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
16 disjsn 4192 . . 3 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
1715, 16sylibr 223 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
181, 17syl5eq 2656 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  gsummptfzsplitl  18156
 Copyright terms: Public domain W3C validator