MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzpreddisj Structured version   Unicode version

Theorem fzpreddisj 11614
Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpreddisj  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzpreddisj
StepHypRef Expression
1 incom 3644 . 2  |-  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( ( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)
2 0lt1 9966 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
3 0re 9490 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
4 1re 9489 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
53, 4ltnlei 9599 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
62, 5mpbi 208 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
7 eluzel2 10970 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
87zred 10851 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
9 leaddle0 9958 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
108, 4, 9sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )  <_  M  <->  1  <_  0 ) )
116, 10mtbiri 303 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  ( M  +  1 )  <_  M )
1211intnanrd 908 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) )
1312intnand 907 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  (
( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( M  + 
1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
14 elfz2 11554 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( M  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
1513, 14sylnibr 305 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  M  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
16 disjsn 4037 . . 3  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
1715, 16sylibr 212 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( M  +  1 ) ... N )  i^i  { M }
)  =  (/) )
181, 17syl5eq 2504 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( { M }  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3428   (/)c0 3738   {csn 3978   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548
This theorem is referenced by:  gsummptfzsplitl  16540
  Copyright terms: Public domain W3C validator