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Theorem crctcsh1wlkn0lem3 41015
 Description: Lemma for crctcsh1wlkn0 41024. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh1wlkn0lem.s (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcsh1wlkn0lem.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh1wlkn0lem3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh1wlkn0lem3
StepHypRef Expression
1 crctcsh1wlkn0lem.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
3 breq1 4586 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
4 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐽 → (𝑥 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
54fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)))
64oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐽 → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))
76fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
83, 5, 7ifbieq12d 4063 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
98adantl 481 . . 3 (((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝐽) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
10 crctcsh1wlkn0lem.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (1..^𝑁))
11 0zd 11266 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℤ)
12 elfzoel2 12338 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 elfzoelz 12339 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
1412, 13zsubcld 11363 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
1514peano2zd 11361 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ)
16 elfzo1 12385 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
17 nnre 10904 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
18 nnre 10904 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
19 posdif 10400 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑆)))
20 0red 9920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
21 resubcl 10224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
2221ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
23 ltle 10005 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁𝑆) → 0 ≤ (𝑁𝑆)))
2420, 22, 23syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁𝑆) → 0 ≤ (𝑁𝑆)))
2522lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
26 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
2722, 26readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ)
28 letr 10010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁𝑆) ∧ (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
2920, 22, 27, 28syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑁𝑆) ∧ (𝑁𝑆) ≤ ((𝑁𝑆) + 1)) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
3025, 29mpan2d 706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑆) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
3124, 30syld 46 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁𝑆) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
3219, 31sylbid 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
3317, 18, 32syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
34333impia 1253 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
3516, 34sylbi 206 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1))
36 eluz2 11569 . . . . . . 7 (((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝑆) + 1)))
3711, 15, 35, 36syl3anbrc 1239 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0))
3810, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0))
39 fzss1 12251 . . . . 5 (((𝑁𝑆) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
4038, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
4140sselda 3568 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
42 fvex 6113 . . . . 5 (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)) ∈ V
43 fvex 6113 . . . . 5 (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ V
4442, 43ifex 4106 . . . 4 if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V
4544a1i 11 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ V)
462, 9, 41, 45fvmptd 6197 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))))
47 elfz2 12204 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) ↔ ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
48 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
49 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
50 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5149, 50anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
52 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
53 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑆 ∈ ℝ)
5452, 53resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
5554ltp1d 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝑁𝑆) < ((𝑁𝑆) + 1))
56 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
5754, 56readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ)
58 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐽 ∈ ℝ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
60 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (((𝑁𝑆) < ((𝑁𝑆) + 1) ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁𝑆) < 𝐽))
6154, 57, 59, 60syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁𝑆) < ((𝑁𝑆) + 1) ∧ ((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽) → (𝑁𝑆) < 𝐽))
6255, 61mpand 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → (𝑁𝑆) < 𝐽))
6354, 59ltnled 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑁𝑆) < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6462, 63sylibd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6548, 51, 64syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
6665expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6766ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
68673adant1 1072 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ ℤ → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
6968com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℤ → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
7013, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
7170com13 86 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽 → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
7271adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁) → ((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))))
7372impcom 445 . . . . . . 7 (((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁)) → (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
7473com12 32 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (((((𝑁𝑆) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (((𝑁𝑆) + 1) ≤ 𝐽𝐽𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
7547, 74syl5bi 231 . . . . 5 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
7610, 75syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆)))
7776imp 444 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → ¬ 𝐽 ≤ (𝑁𝑆))
7877iffalsed 4047 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → if(𝐽 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝐽 + 𝑆)), (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
7946, 78eqtrd 2644 1 ((𝜑𝐽 ∈ (((𝑁𝑆) + 1)...𝑁)) → (𝑄𝐽) = (𝑃‘((𝐽 + 𝑆) − 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0lem6  41018
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