Theorem elfz2 7642

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show M e. ZZ and N e. ZZ.

Assertion

Ref	Expression
elfz2	|- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Proof of Theorem elfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 7640	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> (K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N)))
2		ibar 705	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
3		3anass 862	. . . . . 6 |- ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
4	2, 3	syl5bb 591	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
5	1, 4	bitrd 587	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
6	5	adantl 424	. . 3 |- ((N e. A /\ (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
7		zex 7353	. . . . . . . 8 |- ZZ e. _V
8	7	rabex 3461	. . . . . . 7 |- {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)} e. _V
9		df-fz 7638	. . . . . . 7 |- ... = {<.<.m, n>., z>. | ((m e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ z = {k e. ZZ | (m <_ k /\ k <_ n)})}
10	8, 9	dmoprab2 5065	. . . . . 6 |- dom ... = (ZZ X. ZZ)
11		ndmoprg 4976	. . . . . 6 |- ((dom ... = (ZZ X. ZZ) /\ N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (M...N) = (/))
12	10, 11	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (M...N) = (/))
13	12	eleq2d 1964	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> K e. (/)))
14		noel 2879	. . . . . . 7 |- -. K e. (/)
15	14	pm2.21i 93	. . . . . 6 |- (K e. (/) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
16		simpl 346	. . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
17	15, 16	pm5.21ni 742	. . . . 5 |- (-. (M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
18	17	adantl 424	. . . 4 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (/) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
19	13, 18	bitrd 587	. . 3 |- ((N e. A /\ -. (M e. ZZ /\ N e. ZZ)) -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
20	6, 19	pm2.61dan 535	. 2 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N)))))
21		df-3an 860	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ))
22	21	anbi1i 539	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
23		anass 487	. . 3 |- ((((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))))
24	22, 23	bitr2i 191	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (K e. ZZ /\ (M <_ K /\ K <_ N))) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N)))
25	20, 24	syl6bb 595	1 |- (N e. A -> (K e. (M...N) <-> ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (M <_ K /\ K <_ N))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  (class class class)co 4884   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ...cfz 7637

This theorem is referenced by:  elfzlem 7643  elfzuzb 7646  elfzel2i 7649  elfzel2g 7650  elfz2nn0 7667  fznn0sub 7670  elfzp1 7683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-neg 6513  df-z 7345  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain