MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2 Structured version   Unicode version

Theorem elfz2 11682
Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ and  N  e.  ZZ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )

Proof of Theorem elfz2
StepHypRef Expression
1 anass 647 . 2  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
2 df-3an 973 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
32anbi1i 693 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
4 elfz1 11680 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
5 3anass 975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
6 ibar 502 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
75, 6syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
84, 7bitrd 253 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
9 fzf 11679 . . . . . . 7  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
109fdmi 5718 . . . . . 6  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1110ndmov 6432 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  =  (/) )
1211eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  K  e.  (/) ) )
13 noel 3787 . . . . . 6  |-  -.  K  e.  (/)
1413pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( K  e.  (/)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
15 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
1614, 15pm5.21ni 350 . . . 4  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  (/) 
<->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
1712, 16bitrd 253 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) ) )
188, 17pm2.61i 164 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
191, 3, 183bitr4ri 278 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439    X. cxp 4986  (class class class)co 6270    <_ cle 9618   ZZcz 10860   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-neg 9799  df-z 10861  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  elfz4  11684  elfzuzb  11685  uzsubsubfz  11710  fzmmmeqm  11721  fzpreddisj  11733  elfz1b  11752  fzp1nel  11766  elfz0ubfz0  11782  elfz0fzfz0  11783  fz0fzelfz0  11784  fz0fzdiffz0  11787  elfzmlbmOLD  11789  elfzmlbp  11790  fzind2  11905  swrdswrdlem  12675  swrdswrd  12676  swrdccatin12lem2a  12701  swrdccatin12lem2b  12702  swrdccatin2  12703  swrdccatin12lem2  12705  swrdccat3  12708  2cshwcshw  12784  cshwcsh2id  12787  fprodntriv  13831  fprodeq0  13861  chfacfscmulgsum  19528  chfacfpmmulgsum  19532  wwlkextproplem1  24943  wwlkextproplem2  24944  clwlkfclwwlk  25046  preduz  29520  monoords  31735  fmul01lt1lem1  31817  fmul01lt1lem2  31818  mccllem  31844  sumnnodd  31875  dvnmul  31979  dvnprodlem1  31982  dvnprodlem2  31983  itgspltprt  32017  stoweidlem3  32024  stoweidlem34  32055  stoweidlem51  32072  fourierdlem12  32140  fourierdlem14  32142  fourierdlem41  32169  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem50  32178  fourierdlem79  32207  fourierdlem92  32220  fourierdlem93  32221  elaa2lem  32255  etransclem3  32259  etransclem7  32263  etransclem10  32266  etransclem24  32280  etransclem27  32283  etransclem28  32284  etransclem35  32291  etransclem38  32294  etransclem44  32300  pfxccatin12lem1  32651  pfxccatin12lem2  32652  pfxccat3  32654  elfzelfzlble  32711
  Copyright terms: Public domain W3C validator