Theorem ssuzfz 38506

Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssuzfz.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ssuzfz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
ssuzfz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ssuzfz	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssuzfz.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
2	1	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3		ssuzfz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	syl6eleq 2698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 11568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		uzssz 11583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
8	3, 7	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
10	1, 9	sstrd 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12		ne0i 3880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14		ssuzfz.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16		suprfinzcl 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
18	11, 17	sseldd 3569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
19	10	sselda 3568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
20	6, 18, 19	3jca 1235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
21		eluzle 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
22	4, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑀 ≤ 𝑘)
23		zssre 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
25	10, 24	sstrd 3578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐴)
28		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
29	26, 15, 27, 28	supfirege 10886	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
30	20, 22, 29	jca32 556	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
31		elfz2 12204	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
32	30, 31	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33	32	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
34	33	ralrimiv 2948	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
35		dfss3 3558	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
36	34, 35	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  sge0isum  39320