Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssuzfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssuzfz 38506
 Description: A finite subset of the upper integers is a subset of a finite set of sequential integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssuzfz.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ssuzfz.2 (𝜑𝐴𝑍)
ssuzfz.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ssuzfz (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))

Proof of Theorem ssuzfz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssuzfz.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 ssuzfz.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11568 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 uzssz 11583 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
83, 7eqsstri 3598 . . . . . . . . . . 11 𝑍 ⊆ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ⊆ ℤ)
101, 9sstrd 3578 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℤ)
12 ne0i 3880 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 ssuzfz.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
16 suprfinzcl 11368 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1711, 13, 15, 16syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
1811, 17sseldd 3569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
1910sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
206, 18, 193jca 1235 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
21 eluzle 11576 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
224, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀𝑘)
23 zssre 11261 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℤ ⊆ ℝ)
2510, 24sstrd 3578 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
27 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
28 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
2926, 15, 27, 28supfirege 10886 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
3020, 22, 29jca32 556 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
31 elfz2 12204 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))))
3230, 31sylibr 223 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3332ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3433ralrimiv 2948 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
35 dfss3 3558 . 2 (𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ ∀𝑘𝐴 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3634, 35sylibr 223 1 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  sge0isum  39320
 Copyright terms: Public domain W3C validator