Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0fzdiffz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0fzdiffz0 12317
 Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 12314 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2 elfzle1 12215 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀𝐾)
5 elfznn0 12302 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 nn0sub 11220 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
96, 7, 8syl2anr 494 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
104, 9mpbid 221 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0)
11 elfz3nn0 12303 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 elfz2nn0 12300 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
14 elfz2 12204 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
15 zsubcl 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
1615zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
1716ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
18173adant2 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
19 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20193ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22213ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2318, 20, 223jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
29 subge02 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3020, 28, 29syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3127, 30mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀) ≤ 𝐾)
3231anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁))
33 letr 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3425, 32, 33sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
3534exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3736com14 94 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐾𝐾𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3938impcom 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4014, 39sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4140com13 86 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4241impcom 445 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
43423adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4413, 43sylbi 206 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4544imp 444 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4645adantl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4710, 12, 463jca 1235 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
481, 47mpancom 700 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
49 elfz2nn0 12300 . 2 ((𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
5048, 49sylibr 223 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  swrdtrcfv  13293  swrdccatwrd  13320  chfacfpmmulgsum2  20489  pfxtrcfv  40264
 Copyright terms: Public domain W3C validator