MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsp1o 14993
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 + 1 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1o ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1o
StepHypRef Expression
1 2z 11286 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 11364 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
54peano2zd 11361 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6 bitsp1 14991 . . 3 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
75, 6sylan 487 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
8 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1211recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
13 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
14 2cnd 10970 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
15 2ne0 10990 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
1712, 13, 14, 16divdird 10718 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
18 zcn 11259 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918, 14, 16divcan3d 10685 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
2019oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
2117, 20eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
2221fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))))
23 0re 9919 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
24 halfre 11123 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
25 halfgt0 11125 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
2623, 24, 25ltleii 10039 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
27 halflt1 11127 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2826, 27pm3.2i 470 . . . . . . 7 (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
29 flbi2 12480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
3024, 29mpan2 703 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
3128, 30mpbiri 247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁)
3222, 31eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
3332adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
3433fveq2d 6107 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) = (bits‘𝑁))
3534eleq2d 2673 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
367, 35bitrd 267 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cfl 12453  bitscbits 14979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-bits 14982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator