Theorem peano2zd 10969

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 10904	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767  (class class class)co 6284   1c1 9493   + caddc 9495   ZZcz 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11212  fznatpl1  11734  flge  11910  uzsup  11958  seqf1olem1  12114  bcp1nk  12363  bcval5  12364  rexuzre  13148  limsupgre  13267  rlimclim1  13331  iseraltlem2  13468  telfsumo  13579  fsumparts  13583  climcnds  13626  geo2sum  13645  dvdsfac  13900  bits0o  13939  bitsp1o  13942  bitsinv1lem  13950  smupvallem  13992  smueqlem  13999  hashdvds  14164  opoe  14194  prmreclem4  14296  prmreclem5  14297  vdwnnlem3  14374  sylow1lem1  16424  telgsumfzs  16821  srgbinomlem3  16995  chfacfscmul0  19154  chfacfpmmul0  19158  ovoliunlem2  21677  ovolicc2lem4  21694  uniioombllem3  21757  dyaddisjlem  21767  dvfsumlem1  22190  dvfsumlem3  22192  plyco0  22352  abelthlem6  22593  birthdaylem2  23038  wilthlem1  23098  wilth  23101  basellem3  23112  chpp1  23185  perfect  23262  bcmono  23308  lgslem1  23327  lgsval2lem  23337  lgseisenlem1  23380  lgsquadlem1  23385  m1lgs  23393  2sqblem  23408  rplogsumlem2  23426  rpvmasumlem  23428  dchrisumlema  23429  dchrisumlem2  23431  pntpbnd1  23527  pntpbnd2  23528  pntlemq  23542  pntlemr  23543  pntlemj  23544  pntlemf  23546  axlowdimlem16  23964  wwlkextproplem1  24445  clwwlkf  24498  eupath2lem3  24683  isarchi3  27421  archirngz  27423  archiabllem1a  27425  ballotlemsf1o  28120  ballotlemsima  28122  signstfvn  28194  clim2prod  28627  clim2div  28628  fprodntriv  28679  ltflcei  29648  fdc  29869  incsequz  29872  cntotbnd  29923  lzunuz  30333  lzenom  30335  ltrmxnn0  30519  jm2.17a  30530  jm2.17b  30531  jm2.17c  30532  jm2.24  30533  rmygeid  30534  jm2.25  30573  jm2.27a  30579  jm3.1lem1  30591  expdiophlem1  30595  monoords  31101  fmul01lt1lem1  31162  climsuselem1  31177  sumnnodd  31200  iblspltprt  31319  itgspltprt  31325  stoweidlem26  31354  wallispilem4  31396  stirlinglem4  31405  stirlinglem8  31409  stirlinglem11  31412  stirlinglem13  31414  dirkertrigeqlem1  31426  dirkercncflem2  31432  fourierdlem11  31446  fourierdlem12  31447  fourierdlem15  31450  fourierdlem50  31485  fourierdlem64  31499  fourierdlem65  31500  fourierdlem79  31514