Theorem peano2zd 10334

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 10274	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   1c1 8947   + caddc 8949   ZZcz 10238

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10560  flge  11169  uzsup  11199  seqf1olem1  11317  bcp1nk  11563  bcval5  11564  rexuzre  12111  limsupgre  12230  rlimclim1  12294  iseraltlem2  12431  fsumtscopo  12536  fsumparts  12540  climcnds  12586  geo2sum  12605  dvdsfac  12859  bits0o  12897  bitsp1o  12900  bitsinv1lem  12908  smupvallem  12950  smueqlem  12957  hashdvds  13119  opoe  13140  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  vdwnnlem3  13320  sylow1lem1  15187  ovoliunlem2  19352  ovolicc2lem4  19369  uniioombllem3  19430  dyaddisjlem  19440  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem3  19865  plyco0  20064  abelthlem6  20305  birthdaylem2  20744  wilthlem1  20804  wilth  20807  basellem3  20818  chpp1  20891  perfect  20968  bcmono  21014  lgslem1  21033  lgsval2lem  21043  lgseisenlem1  21086  lgsquadlem1  21091  m1lgs  21099  2sqblem  21114  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  dchrisumlem2  21137  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemq  21248  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  eupath2lem3  21654  ballotlemsf1o  24724  ballotlemsima  24726  fznatpl1  25151  clim2prod  25169  clim2div  25170  fprodntriv  25221  axlowdimlem16  25800  ltflcei  26140  fdc  26339  incsequz  26342  cntotbnd  26395  lzunuz  26716  lzenom  26718  ltrmxnn0  26904  jm2.17a  26915  jm2.17b  26916  jm2.17c  26917  jm2.24  26918  rmygeid  26919  jm2.25  26960  jm2.27a  26966  jm3.1lem1  26978  expdiophlem1  26982  fmul01lt1lem1  27581  climsuselem1  27600  stoweidlem26  27642  wallispilem4  27684  stirlinglem4  27693  stirlinglem8  27697  stirlinglem11  27700  stirlinglem13  27702  swrdccatin12  28026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239