Theorem peano2zd 10750

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 10686	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756  (class class class)co 6091   1c1 9283   + caddc 9285   ZZcz 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10983  fznatpl1  11510  flge  11655  uzsup  11702  seqf1olem1  11845  bcp1nk  12093  bcval5  12094  rexuzre  12840  limsupgre  12959  rlimclim1  13023  iseraltlem2  13160  fsumtscopo  13265  fsumparts  13269  climcnds  13314  geo2sum  13333  dvdsfac  13588  bits0o  13626  bitsp1o  13629  bitsinv1lem  13637  smupvallem  13679  smueqlem  13686  hashdvds  13850  opoe  13878  prmreclem4  13980  prmreclem5  13981  vdwnnlem3  14058  sylow1lem1  16097  srgbinomlem3  16640  ovoliunlem2  20986  ovolicc2lem4  21003  uniioombllem3  21065  dyaddisjlem  21075  dvfsumlem1  21498  dvfsumlem3  21500  plyco0  21660  abelthlem6  21901  birthdaylem2  22346  wilthlem1  22406  wilth  22409  basellem3  22420  chpp1  22493  perfect  22570  bcmono  22616  lgslem1  22635  lgsval2lem  22645  lgseisenlem1  22688  lgsquadlem1  22693  m1lgs  22701  2sqblem  22716  rplogsumlem2  22734  rpvmasumlem  22736  dchrisumlema  22737  dchrisumlem2  22739  pntpbnd1  22835  pntpbnd2  22836  pntlemq  22850  pntlemr  22851  pntlemj  22852  pntlemf  22854  axlowdimlem16  23203  eupath2lem3  23600  isarchi3  26204  archirngz  26206  archiabllem1a  26208  ballotlemsf1o  26896  ballotlemsima  26898  signstfvn  26970  clim2prod  27403  clim2div  27404  fprodntriv  27455  ltflcei  28419  fdc  28641  incsequz  28644  cntotbnd  28695  lzunuz  29106  lzenom  29108  ltrmxnn0  29292  jm2.17a  29303  jm2.17b  29304  jm2.17c  29305  jm2.24  29306  rmygeid  29307  jm2.25  29348  jm2.27a  29354  jm3.1lem1  29366  expdiophlem1  29370  fmul01lt1lem1  29765  climsuselem1  29780  stoweidlem26  29821  wallispilem4  29863  stirlinglem4  29872  stirlinglem8  29876  stirlinglem11  29879  stirlinglem13  29881  clwwlkf  30456  wwlkextproplem1  30560