Theorem peano2zd 10746

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 10682	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1761  (class class class)co 6090   1c1 9279   + caddc 9281   ZZcz 10642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10979  fznatpl1  11506  flge  11651  uzsup  11698  seqf1olem1  11841  bcp1nk  12089  bcval5  12090  rexuzre  12836  limsupgre  12955  rlimclim1  13019  iseraltlem2  13156  fsumtscopo  13261  fsumparts  13265  climcnds  13310  geo2sum  13329  dvdsfac  13584  bits0o  13622  bitsp1o  13625  bitsinv1lem  13633  smupvallem  13675  smueqlem  13682  hashdvds  13846  opoe  13874  prmreclem4  13976  prmreclem5  13977  vdwnnlem3  14054  sylow1lem1  16090  srgbinomlem3  16630  ovoliunlem2  20886  ovolicc2lem4  20903  uniioombllem3  20965  dyaddisjlem  20975  dvfsumlem1  21398  dvfsumlem3  21400  plyco0  21603  abelthlem6  21844  birthdaylem2  22289  wilthlem1  22349  wilth  22352  basellem3  22363  chpp1  22436  perfect  22513  bcmono  22559  lgslem1  22578  lgsval2lem  22588  lgseisenlem1  22631  lgsquadlem1  22636  m1lgs  22644  2sqblem  22659  rplogsumlem2  22677  rpvmasumlem  22679  dchrisumlema  22680  dchrisumlem2  22682  pntpbnd1  22778  pntpbnd2  22779  pntlemq  22793  pntlemr  22794  pntlemj  22795  pntlemf  22797  axlowdimlem16  23122  eupath2lem3  23519  isarchi3  26121  archirngz  26123  archiabllem1a  26125  ballotlemsf1o  26810  ballotlemsima  26812  signstfvn  26884  clim2prod  27316  clim2div  27317  fprodntriv  27368  ltflcei  28328  fdc  28550  incsequz  28553  cntotbnd  28604  lzunuz  29015  lzenom  29017  ltrmxnn0  29201  jm2.17a  29212  jm2.17b  29213  jm2.17c  29214  jm2.24  29215  rmygeid  29216  jm2.25  29257  jm2.27a  29263  jm3.1lem1  29275  expdiophlem1  29279  fmul01lt1lem1  29674  climsuselem1  29689  stoweidlem26  29730  wallispilem4  29772  stirlinglem4  29781  stirlinglem8  29785  stirlinglem11  29788  stirlinglem13  29790  clwwlkf  30365  wwlkextproplem1  30469