Theorem peano2zd 11032

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 10967	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1867  (class class class)co 6296   1c1 9529   + caddc 9531   ZZcz 10926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11283  fznatpl1  11837  flge  12027  uzsup  12076  seqf1olem1  12238  bcp1nk  12488  bcval5  12489  rexuzre  13383  limsupgre  13509  limsupgreOLD  13510  rlimclim1  13576  iseraltlem2  13716  telfsumo  13829  fsumparts  13833  climcnds  13876  geo2sum  13896  clim2prod  13911  clim2div  13912  fprodntriv  13963  dvdsfac  14327  bits0o  14367  bitsp1o  14370  bitsinv1lem  14378  smupvallem  14420  smueqlem  14427  hashdvds  14681  opoe  14713  prmreclem4  14815  prmreclem5  14816  vdwnnlem3  14899  prmgaplem7  14979  prmgaplem8  14980  sylow1lem1  17178  telgsumfzs  17547  srgbinomlem3  17703  chfacfscmul0  19806  chfacfpmmul0  19810  ovoliunlem2  22350  ovolicc2lem4OLD  22367  ovolicc2lem4  22368  uniioombllem3  22437  dyaddisjlem  22447  dvfsumlem1  22872  dvfsumlem3  22874  plyco0  23040  abelthlem6  23282  birthdaylem2  23769  wilthlem1  23884  wilth  23887  basellem3  23898  chpp1  23971  perfect  24048  bcmono  24094  lgslem1  24113  lgsval2lem  24123  lgseisenlem1  24166  lgsquadlem1  24171  m1lgs  24179  2sqblem  24194  rplogsumlem2  24212  rpvmasumlem  24214  dchrisumlema  24215  dchrisumlem2  24217  pntpbnd1  24313  pntpbnd2  24314  pntlemq  24328  pntlemr  24329  pntlemj  24330  pntlemf  24332  axlowdimlem16  24859  wwlkextproplem1  25340  clwwlkf  25393  eupath2lem3  25578  isarchi3  28368  archirngz  28370  archiabllem1a  28372  archiabllem2c  28376  submateqlem1  28498  ballotlemsf1o  29198  ballotlemsima  29200  signstfvn  29272  ltflcei  31666  poimirlem2  31675  poimirlem10  31683  poimirlem15  31688  poimirlem19  31692  poimirlem23  31696  poimirlem28  31701  fdc  31807  incsequz  31810  cntotbnd  31861  lzunuz  35348  lzenom  35350  ltrmxnn0  35538  jm2.17a  35549  jm2.17b  35550  jm2.17c  35551  jm2.24  35552  rmygeid  35553  jm2.25  35593  jm2.27a  35599  jm3.1lem1  35611  expdiophlem1  35615  monoords  37156  fmul01lt1lem1  37267  climsuselem1  37291  sumnnodd  37315  ioodvbdlimc1lem2  37409  ioodvbdlimc2lem  37411  dvnmul  37420  iblspltprt  37452  itgspltprt  37458  stoweidlem26  37488  wallispilem4  37532  stirlinglem4  37541  stirlinglem8  37545  stirlinglem11  37548  stirlinglem13  37550  dirkertrigeqlem1  37562  dirkercncflem2  37568  fourierdlem11  37582  fourierdlem12  37583  fourierdlem15  37586  fourierdlem41  37612  fourierdlem50  37621  fourierdlem64  37635  fourierdlem65  37636  fourierdlem79  37650  caratheodorylem1  37889  iccpartgtprec  38166  iccpartiltu  38168  iccpartgt  38173  iccpartnel  38184  evenp1odd  38202  oddp1eveni  38203  opoeALTV  38244  perfectALTV  38277  fllogbd  39174  nnpw2blen  39194  dignn0flhalflem2  39230  nn0sumshdiglemA  39233  aacllem  39343