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Theorem bcmono 24192
Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmono  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )

Proof of Theorem bcmono
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1009 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
2 simpl1 1008 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
3 eluzel2 11165 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
433ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  A  e.  ZZ )
54anim1i 570 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
6 elnn0z 10951 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
75, 6sylibr 215 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  NN0 )
8 simpl3 1010 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  B  <_  ( N  /  2
) )
9 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  A  <_  ( N  /  2 ) ) )
10 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  A
) )
1110breq2d 4432 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  A ) ) )
129, 11imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( A  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  A ) ) ) )
1312imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( A  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  A
) ) ) ) )
14 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  k  <_  ( N  /  2 ) ) )
15 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  k
) )
1615breq2d 4432 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k ) ) )
1714, 16imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( k  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k ) ) ) )
1817imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) ) ) ) )
19 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  ( k  +  1 )  <_ 
( N  /  2
) ) )
20 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  (
k  +  1 ) ) )
2120breq2d 4432 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
2219, 21imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2322imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
24 breq1 4423 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  <_  ( N  /  2 )  <->  B  <_  ( N  /  2 ) ) )
25 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( N  _C  x )  =  ( N  _C  B
) )
2625breq2d 4432 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x )  <->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  B ) ) )
2724, 26imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  x ) )  <->  ( B  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  B ) ) ) )
2827imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( N  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  ( N  /  2
)  ->  ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  x ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( B  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) ) ) ) )
29 bccl 12507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  A
)  e.  NN0 )
3029nn0red 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  A
)  e.  RR )
3130leidd 10181 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  A ) )
3231a1d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  A ) ) )
3332expcom 436 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( A  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  A
) ) ) )
3433adantrd 469 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( A  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  A ) ) ) )
35 eluzelz 11169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  k  e.  ZZ )
36353ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
3736zred 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  k  e.  RR )
3837lep1d 10539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  k  <_  ( k  +  1 ) )
39 peano2re 9807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
41 nn0re 10879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
42413ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  N  e.  RR )
4342rehalfcld 10860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  /  2 )  e.  RR )
44 letr 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( N  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( k  <_  ( k  +  1 )  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  <_  ( N  /  2 ) ) )
4537, 40, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 ) )  ->  k  <_  ( N  /  2 ) ) )
4638, 45mpand 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
k  <_  ( N  /  2 ) ) )
4746imim1d 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) ) ) )
48 eluznn0 11229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
k  e.  NN0 )
49 nn0re 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
50493ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  RR )
51 nn0p1nn 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
52513ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
5352nnnn0d 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN0 )
5453nn0red 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
5550, 54readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5654, 54readdcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
57413ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  e.  RR )
5850lep1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
5950, 54, 54, 58leadd1dd 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  ( k  +  1 ) )  <_  ( (
k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
6052nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
61602timesd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) ) )
62 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 ) )
63 2re 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
64 2pos 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
6563, 64pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
67 lemuldiv2 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  <_  N 
<->  ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 ) ) )
6854, 57, 66, 67syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  <_  N  <->  ( k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) ) )
6962, 68mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
k  +  1 ) )  <_  N )
7061, 69eqbrtrrd 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  +  ( k  +  1 ) )  <_  N )
7155, 56, 57, 59, 70letrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  ( k  +  1 ) )  <_  N )
7250, 54, 57leaddsub2d 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  ( k  +  1 ) )  <_  N  <->  ( k  +  1 )  <_  ( N  -  k ) ) )
7371, 72mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  <_  ( N  -  k ) )
74 nnre 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
75 nngt0 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( k  +  1 ) )
7674, 75jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )
7752, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )
78 nn0z 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
79783ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  e.  ZZ )
80 nn0z 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
81803ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  ZZ )
8279, 81zsubcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  e.  ZZ )
8357rehalfcld 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  /  2
)  e.  RR )
8457, 63jctir 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  e.  RR  /\  2  e.  RR ) )
85 nn0ge0 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
86853ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  <_  N )
87 1le2 10824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  2
8886, 87jctir 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( 0  <_  N  /\  1  <_  2 ) )
89 lemulge12 10469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR )  /\  ( 0  <_  N  /\  1  <_  2
) )  ->  N  <_  ( 2  x.  N
) )
9084, 88, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  <_  ( 2  x.  N ) )
91 ledivmul 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( N  /  2 )  <_  N 
<->  N  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9257, 57, 66, 91syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( N  / 
2 )  <_  N  <->  N  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9390, 92mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  /  2
)  <_  N )
9454, 83, 57, 62, 93letrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  <_  N )
95 1red 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
9650, 95, 57leaddsub2d 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  k ) ) )
9794, 96mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
1  <_  ( N  -  k ) )
98 elnnz1 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( N  -  k
) ) )
9982, 97, 98sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  e.  NN )
100 nnre 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
101 nngt0 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  k
) )
102100, 101jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  (
( N  -  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  k ) ) )
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( N  -  k )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  k ) ) )
104 faccl 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1051043ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
106 nnm1nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  e.  NN0 )
107 faccl 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  -  k
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  e.  NN )
10899, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  e.  NN )
109 faccl 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
1101093ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
111108, 110nnmulcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  e.  NN )
112 nnrp 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR+ )
113 nnrp 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  e.  RR+ )
114 rpdivcl 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR+  /\  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  e.  RR+ )
115112, 113, 114syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  e.  RR+ )
116105, 111, 115syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR+ )
117116rpregt0d 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) ) ) ) )
118 lediv2 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( ( N  -  k )  e.  RR  /\  0  < 
( N  -  k
) )  /\  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  <_ 
( N  -  k
)  <->  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) ) )  / 
( N  -  k
) )  <_  (
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  /  ( k  +  1 ) ) ) )
11977, 103, 117, 118syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  -  k )  <->  ( ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) ) )  /  ( N  -  k ) )  <_  ( ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) ) )  / 
( k  +  1 ) ) ) )
12073, 119mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  /  ( N  -  k )
)  <_  ( (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  /  ( k  +  1 ) ) )
121 facnn2 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  k ) )  =  ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( N  -  k
) ) )
12299, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  ( N  -  k )
)  =  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( N  -  k ) ) )
123122oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  k
) )  x.  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( N  -  k ) )  x.  ( ! `  k ) ) )
124108nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  e.  CC )
125110nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
12682zcnd 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  e.  CC )
127124, 125, 126mul32d 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) )  x.  ( N  -  k )
)  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( N  -  k ) )  x.  ( ! `  k ) ) )
128123, 127eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  k
) )  x.  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( N  -  k ) ) )
129128oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  k )
)  x.  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( N  -  k
) ) ) )
130 nn0ge0 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
1311303ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  <_  k )
13250, 54, 57, 58, 94letrd 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  <_  N )
133 0zd 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  e.  ZZ )
134 elfz 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 0  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
13581, 133, 79, 134syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
136131, 132, 135mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) )
137 bcval2 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  k )
)  x.  ( ! `
 k ) ) ) )
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  k
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  k ) )  x.  ( ! `  k
) ) ) )
139105nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  N
)  e.  CC )
140111nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  e.  CC )
141111nnne0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
)  =/=  0 )
14299nnne0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  k
)  =/=  0 )
143139, 140, 126, 141, 142divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  /  ( N  -  k )
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( N  -  k
) ) ) )
144129, 138, 1433eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  k
)  =  ( ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  /  ( N  -  k ) ) )
145 nn0cn 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
1461453ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  ->  N  e.  CC )
147 nn0cn 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
1481473ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
k  e.  CC )
149 1cnd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
1  e.  CC )
150146, 148, 149subsub4d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
151150eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  -  (
k  +  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  -  1 ) )
152151fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) ) )
153 facp1 12464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1541533ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
155152, 154oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
156124, 125, 60mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 ( ( N  -  k )  - 
1 ) )  x.  ( ! `  k
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
157155, 156eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  (
( N  -  k
)  -  1 ) )  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
158157oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
15953nn0ge0d 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( k  +  1 ) )
16052nnzd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
161 elfz 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 0  <_  ( k  +  1 )  /\  (
k  +  1 )  <_  N ) ) )
162160, 133, 79, 161syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( 0  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  <_  N
) ) )
163159, 94, 162mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
164 bcval2 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16652nnne0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( k  +  1 )  =/=  0 )
167139, 140, 60, 141, 166divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  / 
( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k )
) )  /  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
168158, 165, 1673eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( ( N  -  k )  -  1 ) )  x.  ( ! `  k ) ) )  /  ( k  +  1 ) ) )
169120, 144, 1683brtr4d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  (
k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 ) )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) )
1701693exp 1204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  k )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) ) )
17148, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1721713impia 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
1731723coml 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
174 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
175 nn0z 10961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
1761753ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  A  e.  ZZ )
177174, 176, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  A )  e. 
NN0 )
178177nn0red 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  A )  e.  RR )
179 bccl 12507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
180174, 36, 179syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
181180nn0red 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  k )  e.  RR )
18236peano2zd 11044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
183 bccl 12507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
184174, 182, 183syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  e. 
NN0 )
185184nn0red 10927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
186 letr 9728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  _C  A
)  e.  RR  /\  ( N  _C  k
)  e.  RR  /\  ( N  _C  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k )  /\  ( N  _C  k )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) )
187178, 181, 185, 186syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k )  /\  ( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) )
188187expcomd 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( N  _C  k
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) )  ->  (
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  (
k  +  1 ) ) ) ) )
189173, 188syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( ( N  _C  A )  <_  ( N  _C  k )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
190189a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
19147, 190syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1921913expib 1208 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
193192a2d 29 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( k  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  k ) ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e. 
NN0 )  ->  (
( k  +  1 )  <_  ( N  /  2 )  -> 
( N  _C  A
)  <_  ( N  _C  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19413, 18, 23, 28, 34, 193uzind4 11218 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  ->  ( B  <_  ( N  / 
2 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) ) ) )
1951943imp 1199 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( N  e.  NN0  /\  A  e.  NN0 )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
1961, 2, 7, 8, 195syl121anc 1269 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  0  <_  A )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
197 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  N  e.  NN0 )
1984adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  A  e.  ZZ )
199 orc 386 . . . . 5  |-  ( A  <  0  ->  ( A  <  0  \/  N  <  A ) )
200199adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( A  <  0  \/  N  <  A ) )
201 bcval4 12492 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  <  0  \/  N  <  A ) )  -> 
( N  _C  A
)  =  0 )
202197, 198, 200, 201syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( N  _C  A )  =  0 )
203 simpl2 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
204 eluzelz 11169 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
205203, 204syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  ZZ )
206 bccl 12507 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  B
)  e.  NN0 )
207197, 205, 206syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( N  _C  B )  e. 
NN0 )
208207nn0ge0d 10929 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  0  <_  ( N  _C  B
) )
209202, 208eqbrtrd 4441 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  /\  A  <  0 )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
210 0re 9644 . . 3  |-  0  e.  RR
2114zred 11041 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  A  e.  RR )
212 lelttric 9742 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <  0
) )
213210, 211, 212sylancr 667 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  (
0  <_  A  \/  A  <  0 ) )
214196, 209, 213mpjaodan 793 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <_  ( N  /  2
) )  ->  ( N  _C  A )  <_ 
( N  _C  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    <_ cle 9677    - cmin 9861    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   RR+crp 11303   ...cfz 11785   !cfa 12459    _C cbc 12487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-seq 12214  df-fac 12460  df-bc 12488
This theorem is referenced by:  bcmax  24193
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