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Theorem relexpmulnn 37020
 Description: With exponents limited to the counting numbers, the composition of powers of a relation is the relation raised to the product of exponents. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpmulnn (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))

Proof of Theorem relexpmulnn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1))
2 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 1))
32oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
41, 3eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1))))
54imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))))
6 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦))
7 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝑦))
87oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
96, 8eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))))
109imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))))
11 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)))
12 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
1312oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
1411, 13eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1)))))
1514imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
16 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾))
17 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝐽 · 𝑥) = (𝐽 · 𝐾))
1817oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
1916, 18eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥)) ↔ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
2019imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑥))) ↔ ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
21 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑟𝐽) ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) ∈ V)
2322relexp1d 13619 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟𝐽))
24 simp1 1054 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 ∈ ℕ)
25 nnre 10904 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℝ)
26 ax-1rid 9885 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
2827eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → 𝐽 = (𝐽 · 1))
2928oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (𝑅𝑟𝐽) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
3023, 29eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟1) = (𝑅𝑟(𝐽 · 1)))
31 simp1 1054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ)
32 relexpsucnnr 13613 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅𝑟𝐽) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
3321, 31, 32sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
34 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)))
3534coeq1d 5205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)))
36 simp21 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℕ)
3736, 31nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ)
38 simp22 1088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑅𝑉)
39 relexpaddnn 13639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4037, 36, 38, 39syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4135, 40eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)))
4236nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝐽 ∈ ℂ)
4331nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
44 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
4542, 43, 44adddid 9943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · (𝑦 + 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)))
4642mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝐽 · 1) = 𝐽)
4746oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + (𝐽 · 1)) = ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽))
4845, 47eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 · 𝑦) + 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 + 1)))
4948oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (𝑅𝑟((𝐽 · 𝑦) + 𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5041, 49eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟𝐽)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
5133, 50eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))
52513exp 1256 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → (((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
5352a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝑦) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝑦))) → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟(𝑦 + 1)) = (𝑅𝑟(𝐽 · (𝑦 + 1))))))
545, 10, 15, 20, 30, 53nnind 10915 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
55543expd 1276 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐽 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))))
5655impcom 445 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑅𝑉 → (𝐼 = (𝐽 · 𝐾) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))))
5756impd 446 . . 3 ((𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾))))
5857impcom 445 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)))
59 simplr 788 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → 𝐼 = (𝐽 · 𝐾))
6059eqcomd 2616 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐽 · 𝐾) = 𝐼)
6160oveq2d 6565 . 2 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝑅𝑟(𝐽 · 𝐾)) = (𝑅𝑟𝐼))
6258, 61eqtrd 2644 1 (((𝑅𝑉𝐼 = (𝐽 · 𝐾)) ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → ((𝑅𝑟𝐽)↑𝑟𝐾) = (𝑅𝑟𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∘ ccom 5042  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕcn 10897  ↑𝑟crelexp 13608 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-relexp 13609 This theorem is referenced by:  relexpmulg  37021
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