MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Structured version   Unicode version

Theorem nnmulcld 10657
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnmulcl 10632 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870  (class class class)co 6305    x. cmul 9543   NNcn 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-nn 10610
This theorem is referenced by:  bcm1k  12497  bcp1n  12498  permnn  12508  trireciplem  13898  efaddlem  14125  eftlub  14141  eirrlem  14234  isprm5  14622  crt  14695  phimullem  14696  pcqmul  14766  pcaddlem  14796  pcbc  14808  pockthlem  14812  pockthg  14813  vdwlem3  14896  vdwlem6  14899  vdwlem9  14902  torsubg  17427  ablfacrp  17634  dgrcolem1  23095  aalioulem5  23157  aaliou3lem2  23164  log2cnv  23735  log2tlbnd  23736  log2ublem2  23738  log2ub  23740  lgamgulmlem4  23822  wilthlem2  23859  ftalem7  23868  basellem5  23874  mumul  23971  fsumfldivdiaglem  23981  dvdsmulf1o  23986  sgmmul  23992  chtublem  24002  bcmono  24068  bposlem3  24077  bposlem5  24079  lgsquadlem2  24146  lgsquadlem3  24147  lgsquad2lem2  24150  2sqlem6  24160  rplogsumlem1  24185  rplogsumlem2  24186  dchrisum0fmul  24207  vmalogdivsum2  24239  pntrsumbnd2  24268  pntpbnd1  24287  pntpbnd2  24288  ostth2lem2  24335  2sqmod  28247  oddpwdc  29013  eulerpartlemgh  29037  subfaclim  29699  bcprod  30161  faclim2  30171  jm2.27c  35567  relexpmulnn  35939  mccllem  37248  wallispilem5  37499  wallispi2lem1  37501  wallispi2  37503  stirlinglem3  37506  stirlinglem8  37511  stirlinglem15  37518  dirkertrigeqlem3  37530  deccarry  38104  proththdlem  38302  blennnt2  39160
  Copyright terms: Public domain W3C validator