MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Structured version   Unicode version

Theorem nnmulcld 10365
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnmulcl 10341 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 656 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761  (class class class)co 6090    x. cmul 9283   NNcn 10318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-nn 10319
This theorem is referenced by:  bcm1k  12087  bcp1n  12088  permnn  12098  trireciplem  13320  efaddlem  13374  eftlub  13389  eirrlem  13482  isprm5  13794  crt  13849  phimullem  13850  pcqmul  13916  pcaddlem  13946  pcbc  13958  pockthlem  13962  pockthg  13963  vdwlem3  14040  vdwlem6  14043  vdwlem9  14046  torsubg  16329  ablfacrp  16557  dgrcolem1  21699  aalioulem5  21761  aaliou3lem2  21768  log2cnv  22298  log2tlbnd  22299  log2ublem2  22301  log2ub  22303  wilthlem2  22366  ftalem7  22375  basellem5  22381  mumul  22478  fsumfldivdiaglem  22488  dvdsmulf1o  22493  sgmmul  22499  chtublem  22509  bcmono  22575  bposlem3  22584  bposlem5  22586  lgsquadlem2  22653  lgsquadlem3  22654  lgsquad2lem2  22657  2sqlem6  22667  rplogsumlem1  22692  rplogsumlem2  22693  dchrisum0fmul  22714  vmalogdivsum2  22746  pntrsumbnd2  22775  pntpbnd1  22794  pntpbnd2  22795  ostth2lem2  22842  oddpwdc  26667  eulerpartlemgh  26691  lgamgulmlem4  26948  subfaclim  27006  faclim2  27483  jm2.27c  29281  wallispilem5  29789  wallispi2lem1  29791  wallispi2  29793  stirlinglem3  29796  stirlinglem8  29801  stirlinglem15  29808
  Copyright terms: Public domain W3C validator