MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Unicode version

Theorem nnmulcld 10003
Description: Closure of multiplication of natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnmulcl 9979 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040    x. cmul 8951   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  bcm1k  11561  bcp1n  11562  permnn  11572  trireciplem  12596  efaddlem  12650  eftlub  12665  eirrlem  12758  isprm5  13067  crt  13122  phimullem  13123  pcqmul  13182  pcaddlem  13212  pcbc  13224  pockthlem  13228  pockthg  13229  vdwlem3  13306  vdwlem6  13309  vdwlem9  13312  torsubg  15424  ablfacrp  15579  dgrcolem1  20144  aalioulem5  20206  aaliou3lem2  20213  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  log2ublem2  20740  log2ub  20742  wilthlem2  20805  ftalem7  20814  basellem5  20820  mumul  20917  fsumfldivdiaglem  20927  dvdsmulf1o  20932  sgmmul  20938  chtublem  20948  bcmono  21014  bposlem3  21023  bposlem5  21025  lgsquadlem2  21092  lgsquadlem3  21093  lgsquad2lem2  21096  2sqlem6  21106  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  dchrisum0fmul  21153  vmalogdivsum2  21185  pntrsumbnd2  21214  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  ostth2lem2  21281  lgamgulmlem4  24769  subfaclim  24827  faclim2  25315  jm2.27c  26968  wallispilem5  27685  wallispi2lem1  27687  wallispi2  27689  stirlinglem3  27692  stirlinglem8  27697  stirlinglem15  27704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator