MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Unicode version

Theorem nnenom 11807
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom  |-  NN  ~~  om

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 7854 . . 3  |-  om  e.  _V
2 nn0ex 10590 . . 3  |-  NN0  e.  _V
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
43hashgf1o 11798 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1oen2g 7331 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0 )  ->  om  ~~  NN0 )
61, 2, 4, 5mp3an 1314 . 2  |-  om  ~~  NN0
7 nn0ennn 11806 . 2  |-  NN0  ~~  NN
86, 7entr2i 7369 1  |-  NN  ~~  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    |` cres 4847   -1-1-onto->wf1o 5422  (class class class)co 6096   omcom 6481   reccrdg 6870    ~~ cen 7312   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   NNcn 10327   NN0cn0 10584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  supcvg  13323  xpnnen  13496  xpomenOLD  13498  znnen  13500  qnnen  13501  rexpen  13515  aleph1re  13532  aleph1irr  13533  bitsf1  13647  unben  13975  odinf  16069  odhash  16078  cygctb  16373  1stcfb  19054  2ndcredom  19059  1stcelcls  19070  hauspwdom  19110  met1stc  20101  met2ndci  20102  re2ndc  20383  iscmet3  20809  ovolctb2  20980  ovolfi  20982  ovoliunlem3  20992  iunmbl2  21043  uniiccdif  21063  dyadmbl  21085  opnmblALT  21088  mbfimaopnlem  21138  itg2seq  21225  aannenlem3  21801  dirith2  22782  nmounbseqi  24182  nmobndseqi  24184  minvecolem5  24287  nnct  26011  dmvlsiga  26577  volmeas  26652  mblfinlem1  28433  ovoliunnfl  28438  heiborlem3  28717  heibor  28725  lzenom  29113  fiphp3d  29163  irrapx1  29174  pellex  29181
  Copyright terms: Public domain W3C validator