MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Unicode version

Theorem nnenom 12075
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom  |-  NN  ~~  om

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8051 . . 3  |-  om  e.  _V
2 nn0ex 10797 . . 3  |-  NN0  e.  _V
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
43hashgf1o 12066 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
5 f1oen2g 7525 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0 )  ->  om  ~~  NN0 )
61, 2, 4, 5mp3an 1322 . 2  |-  om  ~~  NN0
7 nn0ennn 12074 . 2  |-  NN0  ~~  NN
86, 7entr2i 7563 1  |-  NN  ~~  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    |` cres 4990   -1-1-onto->wf1o 5569  (class class class)co 6270   omcom 6673   reccrdg 7067    ~~ cen 7506   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  supcvg  13752  xpnnen  14029  xpomenOLD  14031  znnen  14033  qnnen  14034  rexpen  14048  aleph1re  14065  aleph1irr  14066  bitsf1  14183  unben  14514  odinf  16787  odhash  16796  cygctb  17096  1stcfb  20115  2ndcredom  20120  1stcelcls  20131  hauspwdom  20171  met1stc  21193  met2ndci  21194  re2ndc  21475  iscmet3  21901  ovolctb2  22072  ovolfi  22074  ovoliunlem3  22084  iunmbl2  22136  uniiccdif  22156  dyadmbl  22178  opnmblALT  22181  mbfimaopnlem  22231  itg2seq  22318  aannenlem3  22895  dirith2  23914  nmounbseqi  25893  nmobndseqi  25895  minvecolem5  25998  nnct  27762  padct  27779  dmvlsiga  28362  sigapildsys  28391  volmeas  28443  omssubadd  28511  carsgclctunlem3  28531  mblfinlem1  30294  ovoliunnfl  30299  heiborlem3  30552  heibor  30560  lzenom  30945  fiphp3d  30995  irrapx1  31006  pellex  31013
  Copyright terms: Public domain W3C validator