Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndcredom 21063
 Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → 𝐽 ≼ ℝ)

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 21059 . 2 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2 tgdom 20593 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥)
4 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
5 nnenom 12641 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
65ensymi 7892 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
7 domentr 7901 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
84, 6, 7sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ℕ)
9 pwdom 7997 . . . . . . . 8 (𝑥 ≼ ℕ → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ)
11 rpnnen 14795 . . . . . . . 8 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
1211ensymi 7892 . . . . . . 7 𝒫 ℕ ≈ ℝ
13 domentr 7901 . . . . . . 7 ((𝒫 𝑥 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≈ ℝ) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
1410, 12, 13sylancl 693 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝒫 𝑥 ≼ ℝ)
15 domtr 7895 . . . . . 6 (((topGen‘𝑥) ≼ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≼ ℝ) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
163, 14, 15syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → (topGen‘𝑥) ≼ ℝ)
17 breq1 4586 . . . . 5 ((topGen‘𝑥) = 𝐽 → ((topGen‘𝑥) ≼ ℝ ↔ 𝐽 ≼ ℝ))
1816, 17syl5ibcom 234 . . . 4 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((topGen‘𝑥) = 𝐽𝐽 ≼ ℝ))
1918expimpd 627 . . 3 (𝑥 ∈ TopBases → ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ))
2019rexlimiv 3009 . 2 (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → 𝐽 ≼ ℝ)
211, 20sylbi 206 1 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → 𝐽 ≼ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  ℝcr 9814  ℕcn 10897  topGenctg 15921  TopBasesctb 20520  2nd𝜔c2ndc 21051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-topgen 15927  df-2ndc 21053 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator