Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supcvg 14427
 Description: Extract a sequence 𝑓 in 𝑋 such that the image of the points in the bounded set 𝐴 converges to the supremum 𝑆 of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 9140. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1 𝑋 ∈ V
supcvg.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
supcvg.3 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
supcvg.4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
supcvg.5 (𝜑𝐹:𝑋onto𝐴)
supcvg.6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supcvg.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
supcvg (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝑛,𝜑   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑥,𝑦,𝐴   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
21oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆 − (1 / 𝑛)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
4 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 − (1 / 𝑘)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑅𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
65adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑋onto𝐴)
11 fof 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋onto𝐴𝐹:𝑋𝐴)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋𝐴)
13 feq3 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝑋𝐴𝐹:𝑋⟶∅))
1412, 13syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝐹:𝑋⟶∅))
15 f00 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
1615simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
1714, 16syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝑋 = ∅))
1817necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
218, 19, 203jca 1235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
22 suprcl 10862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
247, 23syl5eqel 2692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
25 nnrp 11718 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
2625rpreccld 11758 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
27 ltsubrp 11742 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
2824, 26, 27syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
296, 28eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) < 𝑆)
3029, 7syl6breq 4624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ))
3121adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
32 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
33 resubcl 10224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3424, 32, 33syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3534, 3fmptd 6292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅:ℕ⟶ℝ)
3635ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
37 suprlub 10864 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑅𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑅𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧))
3831, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧))
3930, 38mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧)
4036adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
418adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4241sselda 3568 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
43 ltle 10005 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑅𝑘) < 𝑧 → (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
4440, 42, 43syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑅𝑘) < 𝑧 → (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
4544reximdva 3000 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧 → ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
4639, 45mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧)
47 forn 6031 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋onto𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
4810, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
4948rexeqdv 3122 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
50 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋𝐴𝐹 Fn 𝑋)
51 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → ((𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5251rexrn 6269 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5312, 50, 523syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5449, 53bitr3d 269 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5554adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5646, 55mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
5756ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
58 supcvg.1 . . . 4 𝑋 ∈ V
59 nnenom 12641 . . . 4 ℕ ≈ ω
60 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = (𝑓𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑓𝑘)))
6160breq2d 4595 . . . 4 (𝑥 = (𝑓𝑘) → ((𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))))
6258, 59, 61axcc4 9144 . . 3 (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))))
6357, 62syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))))
64 nnuz 11599 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
65 1zzd 11285 . . . . . 6 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 1 ∈ ℤ)
66 1zzd 11285 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6724recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
68 1z 11284 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
6964eqimss2i 3623 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
70 nnex 10903 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
7169, 70climconst2 14127 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
7267, 68, 71sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
7370mptex 6390 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛))) ∈ V
743, 73eqeltri 2684 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ V
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ V)
76 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 divcnv 14424 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
79 fvconst2g 6372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
8024, 79sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
8167adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
8280, 81eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) ∈ ℂ)
83 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
84 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 𝑘) ∈ V
851, 83, 84fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
8685adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
87 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
8887recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
8988adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
9086, 89eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
9180, 86oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
926, 91eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) = (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)))
9364, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 14212 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ⇝ (𝑆 − 0))
9467subid1d 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 − 0) = 𝑆)
9593, 94breqtrd 4609 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑆)
9695ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝑅𝑆)
9712ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝐹:𝑋𝐴)
98 fex 6394 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋𝐴𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9997, 58, 98sylancl 693 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝐹 ∈ V)
100 vex 3176 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
101 coexg 7010 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐹𝑓) ∈ V)
10299, 100, 101sylancl 693 . . . . . 6 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝐹𝑓) ∈ V)
10335ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
104103ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
10512, 8fssd 5970 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
106 fco 5971 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹𝑓):ℕ⟶ℝ)
107105, 106sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹𝑓):ℕ⟶ℝ)
108107adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝐹𝑓):ℕ⟶ℝ)
109108ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) ∈ ℝ)
110 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑚))
111 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑚))
112111fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑓𝑘)) = (𝐹‘(𝑓𝑚)))
113110, 112breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ↔ (𝑅𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑚))))
114113rspccva 3281 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑚)))
115114adantll 746 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑚)))
116 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
117 fvco3 6185 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓𝑚)))
118116, 117sylan 487 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓𝑚)))
119115, 118breqtrrd 4611 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ≤ ((𝐹𝑓)‘𝑚))
12021ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
121116ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓𝑚) ∈ 𝑋)
12297ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ∈ 𝐴)
123121, 122syldan 486 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ∈ 𝐴)
124 suprub 10863 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐹‘(𝑓𝑚)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
125120, 123, 124syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
126125, 7syl6breqr 4625 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ≤ 𝑆)
127118, 126eqbrtrd 4605 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) ≤ 𝑆)
12864, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127climsqz 14219 . . . . 5 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆)
129128ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘)) → (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆))
130129imdistanda 725 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆)))
131130eximdv 1833 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆)))
13263, 131mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator