Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Structured version   Unicode version

Theorem supcvg 13892
 Description: Extract a sequence in such that the image of the points in the bounded set converges to the supremum of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8863. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1
supcvg.2
supcvg.3
supcvg.4
supcvg.5
supcvg.6
supcvg.7
Assertion
Ref Expression
supcvg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,,)   (,)   (,)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12
21oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11
4 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11
52, 3, 4fvmpt 5964 . . . . . . . . . 10
65adantl 467 . . . . . . . . 9
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 fof 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 feq3 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1412, 13syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 f00 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1615simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1714, 16syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817necon3d 2655 . . . . . . . . . . . . . 14
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13
218, 19, 203jca 1185 . . . . . . . . . . . 12
22 suprcl 10569 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11
247, 23syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10
25 nnrp 11311 . . . . . . . . . . 11
2625rpreccld 11351 . . . . . . . . . 10
27 ltsubrp 11335 . . . . . . . . . 10
2824, 26, 27syl2an 479 . . . . . . . . 9
296, 28eqbrtrd 4446 . . . . . . . 8
3029, 7syl6breq 4465 . . . . . . 7
3121adantr 466 . . . . . . . 8
32 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . 11
33 resubcl 9937 . . . . . . . . . . 11
3424, 32, 33syl2an 479 . . . . . . . . . 10
3534, 3fmptd 6061 . . . . . . . . 9
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
37 suprlub 10571 . . . . . . . 8
3831, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . 7
3930, 38mpbid 213 . . . . . 6
4036adantr 466 . . . . . . . 8
418adantr 466 . . . . . . . . 9
4241sselda 3470 . . . . . . . 8
43 ltle 9721 . . . . . . . 8
4440, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . 7
4544reximdva 2907 . . . . . 6
4639, 45mpd 15 . . . . 5
47 forn 5813 . . . . . . . . 9
4810, 47syl 17 . . . . . . . 8
4948rexeqdv 3039 . . . . . . 7
50 ffn 5746 . . . . . . . 8
51 breq2 4430 . . . . . . . . 9
5251rexrn 6039 . . . . . . . 8
5312, 50, 523syl 18 . . . . . . 7
5449, 53bitr3d 258 . . . . . 6
5554adantr 466 . . . . 5
5646, 55mpbid 213 . . . 4
5756ralrimiva 2846 . . 3
58 supcvg.1 . . . 4
59 nnenom 12190 . . . 4
60 fveq2 5881 . . . . 5
6160breq2d 4438 . . . 4
6258, 59, 61axcc4 8867 . . 3
6357, 62syl 17 . 2
64 nnuz 11194 . . . . . 6
65 1zzd 10968 . . . . . 6
66 1zzd 10968 . . . . . . . . 9
6724recnd 9668 . . . . . . . . . 10
68 1z 10967 . . . . . . . . . 10
6964eqimss2i 3525 . . . . . . . . . . 11
70 nnex 10615 . . . . . . . . . . 11
7169, 70climconst2 13590 . . . . . . . . . 10
7267, 68, 71sylancl 666 . . . . . . . . 9
7370mptex 6151 . . . . . . . . . . 11
743, 73eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10
7574a1i 11 . . . . . . . . 9
76 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . 10
77 divcnv 13889 . . . . . . . . . 10
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . 9
79 fvconst2g 6133 . . . . . . . . . . 11
8024, 79sylan 473 . . . . . . . . . 10
8167adantr 466 . . . . . . . . . 10
8280, 81eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9
83 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
84 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12
851, 83, 84fvmpt 5964 . . . . . . . . . . 11
8685adantl 467 . . . . . . . . . 10
87 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . 12
8887recnd 9668 . . . . . . . . . . 11
8988adantl 467 . . . . . . . . . 10
9086, 89eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9
9180, 86oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10
926, 91eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9
9364, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 13675 . . . . . . . 8
9467subid1d 9974 . . . . . . . 8
9593, 94breqtrd 4450 . . . . . . 7
9695ad2antrr 730 . . . . . 6
9712ad2antrr 730 . . . . . . . 8
98 fex 6153 . . . . . . . 8
9997, 58, 98sylancl 666 . . . . . . 7
100 vex 3090 . . . . . . 7
101 coexg 6758 . . . . . . 7
10299, 100, 101sylancl 666 . . . . . 6
10335ad2antrr 730 . . . . . . 7
104103ffvelrnda 6037 . . . . . 6
10512, 8fssd 5755 . . . . . . . . 9
106 fco 5756 . . . . . . . . 9
107105, 106sylan 473 . . . . . . . 8
108107adantr 466 . . . . . . 7
109108ffvelrnda 6037 . . . . . 6
110 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10
111 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11
112111fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10
113110, 112breq12d 4439 . . . . . . . . 9
114113rspccva 3187 . . . . . . . 8
115114adantll 718 . . . . . . 7
116 simplr 760 . . . . . . . 8
117 fvco3 5958 . . . . . . . 8
118116, 117sylan 473 . . . . . . 7
119115, 118breqtrrd 4452 . . . . . 6
12021ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9
121116ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
12297ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
123121, 122syldan 472 . . . . . . . . 9
124 suprub 10570 . . . . . . . . 9
125120, 123, 124syl2anc 665 . . . . . . . 8
126125, 7syl6breqr 4466 . . . . . . 7
127118, 126eqbrtrd 4446 . . . . . 6
12864, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127climsqz 13682 . . . . 5
129128ex 435 . . . 4
130129imdistanda 697 . . 3
131130eximdv 1757 . 2
13263, 131mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wex 1659   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783  cvv 3087   wss 3442  c0 3767  csn 4002   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cxp 4852   crn 4855   ccom 4858   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7960  cc 9536  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   clt 9674   cle 9675   cmin 9859   cdiv 10268  cn 10609  cz 10937  cuz 11159  crp 11302   cli 13526 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator