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Theorem supcvg 13892
Description: Extract a sequence  f in  X such that the image of the points in the bounded set  A converges to the supremum  S of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8863. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1  |-  X  e. 
_V
supcvg.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
supcvg.3  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
supcvg.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
supcvg.5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
supcvg.6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
supcvg.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
Assertion
Ref Expression
supcvg  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, n, ph    R, f, x    f, X, x   
x, y, A    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( f, n)    R( y, n)    S( x, y, f)    F( y, n)    X( y, n)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables  k  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
21oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
4 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( R `  k )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
65adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( S  -  (
1  /  k ) ) )
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
11 fof 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> A  ->  F : X --> A )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> A )
13 feq3 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F : X --> A  <->  F : X
--> (/) ) )
1412, 13syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  F : X --> (/) ) )
15 f00 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> (/)  <->  ( F  =  (/)  /\  X  =  (/) ) )
1615simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> (/)  ->  X  =  (/) )
1714, 16syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  X  =  (/) ) )
1817necon3d 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
218, 19, 203jca 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
22 suprcl 10569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
247, 23syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
25 nnrp 11311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2625rpreccld 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
27 ltsubrp 11335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  ( S  -  (
1  /  k ) )  <  S )
2824, 26, 27syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  < 
S )
296, 28eqbrtrd 4446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  < 
S )
3029, 7syl6breq 4465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3121adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
32 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
33 resubcl 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR )  ->  ( S  -  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
3424, 32, 33syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3534, 3fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R : NN --> RR )
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  e.  RR )
37 suprlub 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( R `
 k )  e.  RR )  ->  (
( R `  k
)  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z ) )
3831, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( R `  k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
) )
3930, 38mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
)
4036adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
418adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4241sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
43 ltle 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  k
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( R `  k )  <  z  ->  ( R `  k
)  <_  z )
)
4440, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  (
( R `  k
)  <  z  ->  ( R `  k )  <_  z ) )
4544reximdva 2907 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
) )
4639, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
)
47 forn 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
4810, 47syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  A )
4948rexeqdv 3039 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z ) )
50 ffn 5746 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> A  ->  F  Fn  X )
51 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
( R `  k
)  <_  z  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5251rexrn 6039 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. z  e.  ran  F ( R `  k
)  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5312, 50, 523syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5449, 53bitr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5554adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5646, 55mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
)
5756ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) )
58 supcvg.1 . . . 4  |-  X  e. 
_V
59 nnenom 12190 . . . 4  |-  NN  ~~  om
60 fveq2 5881 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
6160breq2d 4438 . . . 4  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  x )  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) ) )
6258, 59, 61axcc4 8867 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
6357, 62syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
64 nnuz 11194 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65 1zzd 10968 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  1  e.  ZZ )
66 1zzd 10968 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6724recnd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
68 1z 10967 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
6964eqimss2i 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
70 nnex 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
7169, 70climconst2 13590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7267, 68, 71sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7370mptex 6151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
743, 73eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
7574a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
76 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
77 divcnv 13889 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
79 fvconst2g 6133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k )  =  S )
8024, 79sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  =  S )
8167adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  S  e.  CC )
8280, 81eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  e.  CC )
83 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
84 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
851, 83, 84fvmpt 5964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
8685adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
87 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
8887recnd 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
8988adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  CC )
9086, 89eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  e.  CC )
9180, 86oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )  =  ( S  -  ( 1  / 
k ) ) )
926, 91eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { S }
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 k ) ) )
9364, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 13675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  ~~>  ( S  - 
0 ) )
9467subid1d 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  0 )  =  S )
9593, 94breqtrd 4450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  ~~>  S )
9695ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R  ~~>  S )
9712ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F : X --> A )
98 fex 6153 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> A  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
9997, 58, 98sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F  e.  _V )
100 vex 3090 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
101 coexg 6758 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( F  o.  f
)  e.  _V )
10299, 100, 101sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  e.  _V )
10335ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R : NN --> RR )
104103ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  e.  RR )
10512, 8fssd 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
106 fco 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  f : NN --> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
107105, 106sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
108107adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
109108ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  e.  RR )
110 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( R `  k )  =  ( R `  m ) )
111 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
f `  k )  =  ( f `  m ) )
112111fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  ( f `  k ) )  =  ( F `  (
f `  m )
) )
113110, 112breq12d 4439 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  ( f `  k
) )  <->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) ) )
114113rspccva 3187 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  (
f `  m )
) )
115114adantll 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) )
116 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  f : NN --> X )
117 fvco3 5958 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  =  ( F `
 ( f `  m ) ) )
118116, 117sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  =  ( F `  ( f `
 m ) ) )
119115, 118breqtrrd 4452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  (
( F  o.  f
) `  m )
)
12021ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
121116ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m )  e.  X
)
12297ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  ( f `  m )  e.  X
)  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
123121, 122syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
124 suprub 10570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( F `
 ( f `  m ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( f `  m ) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
125120, 123, 124syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
126125, 7syl6breqr 4466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  S
)
127118, 126eqbrtrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  <_  S
)
12864, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127climsqz 13682 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S )
129128ex 435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S ) )
130129imdistanda 697 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  (
f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) ) )
131130eximdv 1757 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f )  ~~>  S ) ) )
13263, 131mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   ran crn 4855    o. ccom 4858    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302    ~~> cli 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531
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