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Theorem supcvg 12188
Description: Extract a sequence  f in  X such that the image of the points in the bounded set  A converges to the supremum  S of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 7945. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1  |-  X  e. 
_V
supcvg.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
supcvg.3  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
supcvg.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
supcvg.5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
supcvg.6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
supcvg.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
Assertion
Ref Expression
supcvg  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, n, ph    R, f, x    f, X, x   
x, y, A    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( f, n)    R( y, n)    S( x, y, f)    F( y, n)    X( y, n)

Proof of Theorem supcvg
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
21oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
4 ovex 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5454 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( R `  k )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
65adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( S  -  (
1  /  k ) ) )
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
11 fof 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> A  ->  F : X --> A )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> A )
13 feq3 5234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F : X --> A  <->  F : X
--> (/) ) )
1412, 13syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  F : X --> (/) ) )
15 f00 5283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> (/)  <->  ( F  =  (/)  /\  X  =  (/) ) )
1615simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> (/)  ->  X  =  (/) )
1714, 16syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  X  =  (/) ) )
1817necon3d 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
199, 18mpd 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
218, 19, 203jca 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
22 suprcl 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
247, 23syl5eqel 2337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
25 nnrp 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2625rpreccld 10279 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
27 ltsubrp 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  ( S  -  (
1  /  k ) )  <  S )
2824, 26, 27syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  < 
S )
296, 28eqbrtrd 3940 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  < 
S )
3029, 7syl6breq 3959 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3121adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
32 nnrecre 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
33 resubcl 8991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR )  ->  ( S  -  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
3424, 32, 33syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3534, 3fmptd 5536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R : NN --> RR )
36 ffvelrn 5515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `  k
)  e.  RR )
3735, 36sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  e.  RR )
38 suprlub 9596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( R `
 k )  e.  RR )  ->  (
( R `  k
)  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z ) )
3931, 37, 38syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( R `  k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
) )
4030, 39mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
)
4137adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
428adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4342sselda 3103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
44 ltle 8790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  k
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( R `  k )  <  z  ->  ( R `  k
)  <_  z )
)
4541, 43, 44syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  (
( R `  k
)  <  z  ->  ( R `  k )  <_  z ) )
4645reximdva 2617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
) )
4740, 46mpd 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
)
48 forn 5311 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  A )
5049rexeqdv 2695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z ) )
51 ffn 5246 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> A  ->  F  Fn  X )
52 breq2 3924 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
( R `  k
)  <_  z  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5352rexrn 5519 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. z  e.  ran  F ( R `  k
)  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5412, 51, 533syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5550, 54bitr3d 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5655adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5747, 56mpbid 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
)
5857ralrimiva 2588 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) )
59 supcvg.1 . . . 4  |-  X  e. 
_V
60 nnenom 10920 . . . 4  |-  NN  ~~  om
61 fveq2 5377 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
6261breq2d 3932 . . . 4  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  x )  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) ) )
6359, 60, 62axcc4 7949 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
6458, 63syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
65 nnuz 10142 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
66 1z 9932 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6766a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  1  e.  ZZ )
6866a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6924recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
7065eqimss2i 3154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
71 nnex 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
7270, 71climconst2 11899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7369, 66, 72sylancl 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7471mptex 5598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
753, 74eqeltri 2323 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
7675a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
77 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
78 divcnv 12186 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
80 fvconst2g 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k )  =  S )
8124, 80sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  =  S )
8269adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  S  e.  CC )
8381, 82eqeltrd 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  e.  CC )
84 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
85 ovex 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
861, 84, 85fvmpt 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
8786adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
88 nnrecre 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
8988recnd 8741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
9089adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  CC )
9187, 90eqeltrd 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  e.  CC )
9281, 87oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )  =  ( S  -  ( 1  / 
k ) ) )
936, 92eqtr4d 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { S }
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 k ) ) )
9465, 68, 73, 76, 79, 83, 91, 93climsub 11984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  ~~>  ( S  - 
0 ) )
9569subid1d 9026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  0 )  =  S )
9694, 95breqtrd 3944 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  ~~>  S )
9796ad2antrr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R  ~~>  S )
9812ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F : X --> A )
99 fex 5601 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> A  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
10098, 59, 99sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F  e.  _V )
101 vex 2730 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
102 coexg 5121 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( F  o.  f
)  e.  _V )
103100, 101, 102sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  e.  _V )
10435ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R : NN --> RR )
105 ffvelrn 5515 . . . . . . 7  |-  ( ( R : NN --> RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m
)  e.  RR )
106104, 105sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  e.  RR )
107 fss 5254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> A  /\  A  C_  RR )  ->  F : X --> RR )
10812, 8, 107syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
109 fco 5255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  f : NN --> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
110108, 109sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
111110adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
112 ffvelrn 5515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  f
) : NN --> RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  e.  RR )
113111, 112sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  e.  RR )
114 fveq2 5377 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( R `  k )  =  ( R `  m ) )
115 fveq2 5377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
f `  k )  =  ( f `  m ) )
116115fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  ( f `  k ) )  =  ( F `  (
f `  m )
) )
117114, 116breq12d 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  ( f `  k
) )  <->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) ) )
118117rcla4cva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  (
f `  m )
) )
119118adantll 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) )
120 simplr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  f : NN --> X )
121 fvco3 5448 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  =  ( F `
 ( f `  m ) ) )
122120, 121sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  =  ( F `  ( f `
 m ) ) )
123119, 122breqtrrd 3946 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  (
( F  o.  f
) `  m )
)
12421ad3antrrr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
125 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  e.  X )
126120, 125sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m )  e.  X
)
127 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> A  /\  ( f `  m
)  e.  X )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
12898, 127sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  ( f `  m )  e.  X
)  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
129126, 128syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
130 suprub 9595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( F `
 ( f `  m ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( f `  m ) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
131124, 129, 130syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
132131, 7syl6breqr 3960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  S
)
133122, 132eqbrtrd 3940 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  <_  S
)
13465, 67, 97, 103, 106, 113, 123, 133climsqz 11991 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S )
135134ex 425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S ) )
136135imdistanda 677 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  (
f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) ) )
137136eximdv 2018 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f )  ~~>  S ) ) )
13864, 137mpd 16 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362   {csn 3544   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    X. cxp 4578   ran crn 4581    o. ccom 4584    Fn wfn 4587   -->wf 4588   -onto->wfo 4590   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   supcsup 7077   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   NNcn 9626   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   RR+crp 10233    ~~> cli 11835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840
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