MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coexg 7010
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5575 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2 dmexg 6989 . . 3 (𝐵𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3 rnexg 6990 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4 xpexg 6858 . . 3 ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
52, 3, 4syl2anr 494 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6 ssexg 4732 . 2 (((𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 694 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  ccom 5042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049
This theorem is referenced by:  coex  7011  supp0cosupp0  7221  imacosupp  7222  fsuppco2  8191  fsuppcor  8192  mapfienlem2  8194  wemapwe  8477  cofsmo  8974  relexpsucnnr  13613  supcvg  14427  imasle  16006  setcco  16556  estrcco  16593  pwsco1mhm  17193  pwsco2mhm  17194  symgov  17633  symgcl  17634  gsumval3lem2  18130  gsumzf1o  18136  evls1sca  19509  f1lindf  19980  tngds  22262  climcncf  22511  motplusg  25237  smatfval  29189  eulerpartlemmf  29764  tgrpov  35054  erngmul  35112  erngmul-rN  35120  dvamulr  35318  dvavadd  35321  dvhmulr  35393  mendmulr  36777  relexp0a  37027  choicefi  38387  climexp  38672  dvsinax  38801  stoweidlem27  38920  stoweidlem31  38924  stoweidlem59  38952  rngccoALTV  41780  ringccoALTV  41843
  Copyright terms: Public domain W3C validator