Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygctb 18116
 Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cygctb (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)

Proof of Theorem cygctb
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
31, 2iscyg 18104 . . 3 (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵))
43simprbi 479 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → ∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵)
5 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑛(.g𝐺)𝑥) ∈ V
6 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥))
75, 6fnmpti 5935 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) Fn ℤ
8 df-fo 5810 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵 ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) Fn ℤ ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵))
97, 8mpbiran 955 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵 ↔ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵)
10 omelon 8426 . . . . . . . 8 ω ∈ On
11 onenon 8658 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 ω ∈ dom card
13 znnen 14780 . . . . . . . . 9 ℤ ≈ ℕ
14 nnenom 12641 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
1513, 14entri 7896 . . . . . . . 8 ℤ ≈ ω
16 ennum 8656 . . . . . . . 8 (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℤ ∈ dom card ↔ ω ∈ dom card)
1812, 17mpbir 220 . . . . . 6 ℤ ∈ dom card
19 fodomnum 8763 . . . . . 6 (ℤ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵𝐵 ≼ ℤ))
2018, 19mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵𝐵 ≼ ℤ))
21 domentr 7901 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
2215, 21mpan2 703 . . . . 5 (𝐵 ≼ ℤ → 𝐵 ≼ ω)
2320, 22syl6 34 . . . 4 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)):ℤ–onto𝐵𝐵 ≼ ω))
249, 23syl5bir 232 . . 3 ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝑥𝐵) → (ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵𝐵 ≼ ω))
2524rexlimdva 3013 . 2 (𝐺 ∈ CycGrp → (∃𝑥𝐵 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g𝐺)𝑥)) = 𝐵𝐵 ≼ ω))
264, 25mpd 15 1 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐵 ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  cardccrd 8644  ℕcn 10897  ℤcz 11254  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  CycGrpccyg 18102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-cyg 18103 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator