Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapildsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapildsys 29552
Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
Assertion
Ref Expression
sigapildsys (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑂,𝑠,𝑥   𝑥,𝑃,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem sigapildsys
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dynkin.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
21sigapisys 29545 . . 3 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
3 dynkin.l . . . 4 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
43sigaldsys 29549 . . 3 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
52, 4ssini 3798 . 2 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ (𝑃𝐿)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
76elin1d 3764 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡𝑃)
81ispisys 29542 . . . . . . . 8 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
97, 8sylib 207 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
109simpld 474 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
1110elpwid 4118 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
12 dif0 3904 . . . . . . 7 (𝑂 ∖ ∅) = 𝑂
136elin2d 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡𝐿)
143isldsys 29546 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1513, 14sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1615simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
1716simp2d 1067 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
1816simp1d 1066 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
19 difeq2 3684 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑂𝑥) = (𝑂 ∖ ∅))
20 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑡 = 𝑡)
2119, 20eleq12d 2682 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2221rspcv 3278 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2318, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡))
2417, 23mpd 15 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑂 ∖ ∅) ∈ 𝑡)
2512, 24syl5eqelr 2693 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑂𝑡)
26 unieq 4380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
27 uni0 4401 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
2826, 27syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
3018ad3antrrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → ∅ ∈ 𝑡)
3129, 30eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥𝑡)
32 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ V
33320sdom 7976 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ≺ 𝑥𝑥 ≠ ∅)
3433biimpri 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ ∅ → ∅ ≺ 𝑥)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑥)
36 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ω)
37 nnenom 12641 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ≈ ω
3837ensymi 7892 . . . . . . . . . . . 12 ω ≈ ℕ
39 domentr 7901 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
4036, 38, 39sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 ≼ ℕ)
41 fodomr 7996 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ≺ 𝑥𝑥 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑥)
4235, 40, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑥)
43 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
4443iundisj 23123 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
45 fofn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–onto𝑥𝑓 Fn ℕ)
46 fniunfv 6409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
48 forn 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℕ–onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4948unieqd 4382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℕ–onto𝑥 ran 𝑓 = 𝑥)
5047, 49eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑥)
5144, 50syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝑥 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = 𝑥)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = 𝑥)
53 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑛) ∈ V
54 difexg 4735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑛) ∈ V → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ V)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ V
5655dfiun3 5301 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
57 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥)
58 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛𝑦
59 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6059nfrn 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6158, 60nfel 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
6257, 61nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
63 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
64 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥)
65 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑖𝑦
66 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑖
67 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑖(𝑓𝑛)
68 nfiu1 4486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑖 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)
6967, 68nfdif 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑖((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
7066, 69nfmpt 4674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑖(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7170nfrn 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑖ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7265, 71nfel 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑖 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
7364, 72nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖(((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
74 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 𝑛 ∈ ℕ
7573, 74nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
7665, 69nfeq 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
7775, 76nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖(((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
786ad7antr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
79 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
8079ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
8180elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥𝑡)
82 fof 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℕ–onto𝑥𝑓:ℕ⟶𝑥)
8382ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
84 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8583, 84ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑥)
8681, 85sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑓𝑛) ∈ 𝑡)
87 fzofi 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1..^𝑛) ∈ Fin
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (1..^𝑛) ∈ Fin)
8981adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑥𝑡)
9083adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝑥)
91 fzossnn 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
9392sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9490, 93ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑖) ∈ 𝑥)
9589, 94sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑖) ∈ 𝑡)
961, 3, 77, 78, 86, 88, 95sigapildsyslem 29551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ 𝑡)
9763, 96eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦𝑡)
98 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
99 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10099, 55elrnmpti 5297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10198, 100sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))
10262, 97, 101r19.29af 3058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))) → 𝑦𝑡)
103102ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → (𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑦𝑡))
104103ssrdv 3574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡)
105 nnex 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
106105mptex 6390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V
107106rnex 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V
108 elpwg 4116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ V → (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ⊆ 𝑡)
110104, 109sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡)
11116simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
112111ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
113 nnct 12642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ≼ ω
114 mptct 28880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ≼ ω → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω
116 rnct 28879 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω)
11843iundisj2 23124 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))
119 disjrnmpt 28780 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)
120118, 119mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)
121 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (𝑥 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω))
122 disjeq1 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦))
123121, 122anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)))
124 unieq 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → 𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))))
125124eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → ( 𝑥𝑡 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡))
126123, 125imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)))
127126rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)))
128127imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)) → ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡))
129128imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝒫 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)) ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)))𝑦)) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)
130110, 112, 117, 120, 129syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖))) ∈ 𝑡)
13156, 130syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑖)) ∈ 𝑡)
13252, 131eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . 10 (((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝑥) → 𝑥𝑡)
13342, 132exlimddv 1850 . . . . . . . . 9 ((((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝑡)
13431, 133pm2.61dane 2869 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑡)
135134ex 449 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))
136135ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))
13725, 17, 1363jca 1235 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡)))
13811, 137jca 553 . . . 4 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))))
139 vex 3176 . . . . 5 𝑡 ∈ V
140 issiga 29501 . . . . 5 (𝑡 ∈ V → (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡)))))
141139, 140ax-mp 5 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ↔ (𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑡))))
142138, 141sylibr 223 . . 3 (𝑡 ∈ (𝑃𝐿) → 𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
143142ssriv 3572 . 2 (𝑃𝐿) ⊆ (sigAlgebra‘𝑂)
1445, 143eqssi 3584 1 (sigAlgebra‘𝑂) = (𝑃𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  cin 3539  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108   cuni 4372   ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039   Fn wfn 5799  wf 5800  ontowfo 5802  cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  cen 7838  cdom 7839  csdm 7840  Fincfn 7841  ficfi 8199  1c1 9816  cn 10897  ..^cfzo 12334  sigAlgebracsiga 29497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-siga 29498
This theorem is referenced by:  dynkin  29557
  Copyright terms: Public domain W3C validator