Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenunicl 39414
 Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenunicl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenunicl.y (𝜑𝑋𝑆)
caragenunicl.ctb (𝜑𝑋 ≼ ω)
Assertion
Ref Expression
caragenunicl (𝜑 𝑋𝑆)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables 𝑛 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4380 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
2 uni0 4401 . . . . 5 ∅ = ∅
31, 2syl6eq 2660 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑋 = ∅)
43adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
5 caragenunicl.o . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 caragenunicl.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
75, 6caragen0 39396 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
94, 8eqeltrd 2688 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋𝑆)
10 simpl 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝜑)
11 neqne 2790 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1211adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
13 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≼ ω)
15 reldom 7847 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
16 brrelex 5080 . . . . . . . . . 10 ((Rel ≼ ∧ 𝑋 ≼ ω) → 𝑋 ∈ V)
1715, 16mpan 702 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ∈ V)
20 0sdomg 7974 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
2213, 21mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
23 nnenom 12641 . . . . . . . . 9 ℕ ≈ ω
2423ensymi 7892 . . . . . . . 8 ω ≈ ℕ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≈ ℕ)
26 domentr 7901 . . . . . . 7 ((𝑋 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝑋 ≼ ℕ)
2714, 25, 26syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ℕ)
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼ ℕ)
29 fodomr 7996 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝑋𝑋 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋)
3022, 28, 29syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋)
31 founiiun 38355 . . . . . . . . 9 (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛))
335adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑂 ∈ OutMeas)
34 1zzd 11285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 1 ∈ ℤ)
35 nnuz 11599 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
36 fof 6028 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝑋𝑓:ℕ⟶𝑋)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋𝑆)
4037, 39fssd 5970 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑆)
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 39413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ 𝑆)
4232, 41eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓:ℕ–onto𝑋) → 𝑋𝑆)
4342ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4544exlimdv 1848 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝑋 𝑋𝑆))
4630, 45mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → 𝑋𝑆)
4710, 12, 46syl2anc 691 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝑆)
489, 47pm2.61dan 828 1 (𝜑 𝑋𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583  Rel wrel 5043  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  1c1 9816  ℕcn 10897  OutMeascome 39379  CaraGenccaragen 39381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382 This theorem is referenced by:  caragensal  39415
 Copyright terms: Public domain W3C validator