Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragensal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragensal 39415
 Description: Caratheodory's method generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragensal.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragensal.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragensal (𝜑𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem caragensal
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragensal.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragensal.s . . . 4 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
31, 2caragen0 39396 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
41adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑂 ∈ OutMeas)
5 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
64, 2, 5caragendifcl 39404 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆)
76ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆)
81ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑂 ∈ OutMeas)
9 elpwi 4117 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
109ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑆)
11 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
128, 2, 10, 11caragenunicl 39414 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑆)
1312ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
1413ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
153, 7, 143jca 1235 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))
16 fvex 6113 . . . . 5 (CaraGen‘𝑂) ∈ V
172, 16eqeltri 2684 . . . 4 𝑆 ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
19 issal 39210 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
2018, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
2115, 20mpbird 246 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  SAlgcsalg 39204  OutMeascome 39379  CaraGenccaragen 39381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382 This theorem is referenced by:  caratheodory  39418
 Copyright terms: Public domain W3C validator