Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenunicl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem caragenunicl 38355
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenunicl.o  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
caragenunicl.s  |-  S  =  (CaraGen `  O )
caragenunicl.y  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
caragenunicl.ctb  |-  ( ph  ->  X  ~<_  om )
Assertion
Ref Expression
caragenunicl  |-  ( ph  ->  U. X  e.  S
)

Proof of Theorem caragenunicl
Dummy variables  n  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4209 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  U. X  =  U. (/) )
2 uni0 4228 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2503 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  U. X  =  (/) )
43adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U. X  =  (/) )
5 caragenunicl.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e. OutMeas )
6 caragenunicl.s . . . . 5  |-  S  =  (CaraGen `  O )
75, 6caragen0 38337 . . . 4  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
87adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  (/)  e.  S
)
94, 8eqeltrd 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  U. X  e.  S )
10 simpl 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  ph )
11 neqne 37384 . . . 4  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
1211adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
13 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
14 caragenunicl.ctb . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  ~<_  om )
15 reldom 7580 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_
16 brrelex 4876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Rel  ~<_  /\  X  ~<_  om )  ->  X  e.  _V )
1715, 16mpan 677 . . . . . . . . 9  |-  ( X  ~<_  om  ->  X  e.  _V )
1814, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
1918adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  e.  _V )
20 0sdomg 7706 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  X  <->  X  =/=  (/) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (/)  ~<  X  <->  X  =/=  (/) ) )
2213, 21mpbird 236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  (/)  ~<  X )
23 nnenom 12200 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
2423ensymi 7624 . . . . . . . 8  |-  om  ~~  NN
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  om  ~~  NN )
26 domentr 7633 . . . . . . 7  |-  ( ( X  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  X  ~<_  NN )
2714, 25, 26syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  ~<_  NN )
2827adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  ~<_  NN )
29 fodomr 7728 . . . . 5  |-  ( (
(/)  ~<  X  /\  X  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> X
)
3022, 28, 29syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. f 
f : NN -onto-> X
)
31 founiiun 37456 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> X  ->  U. X  =  U_ n  e.  NN  (
f `  n )
)
3231adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  U. X  =  U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )
335adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  O  e. OutMeas )
34 1zzd 10975 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  1  e.  ZZ )
35 nnuz 11201 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
36 fof 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> X  -> 
f : NN --> X )
3736adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  f : NN --> X )
38 caragenunicl.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
3938adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  X  C_  S )
4037, 39fssd 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  f : NN --> S )
4133, 6, 34, 35, 40carageniuncl 38354 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  e.  S
)
4232, 41eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f : NN -onto-> X )  ->  U. X  e.  S )
4342ex 436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f : NN -onto-> X  ->  U. X  e.  S
) )
4443adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( f : NN -onto-> X  ->  U. X  e.  S ) )
4544exlimdv 1781 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. f  f : NN -onto-> X  ->  U. X  e.  S
) )
4630, 45mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  U. X  e.  S )
4710, 12, 46syl2anc 667 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  U. X  e.  S )
489, 47pm2.61dan 801 1  |-  ( ph  ->  U. X  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   U.cuni 4201   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   Rel wrel 4842   -->wf 5581   -onto->wfo 5583   ` cfv 5585   omcom 6697    ~~ cen 7571    ~<_ cdom 7572    ~< csdm 7573   1c1 9545   NNcn 10616  OutMeascome 38320  CaraGenccaragen 38322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-ac2 8898  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-ac 8552  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-sumge0 38215  df-ome 38321  df-caragen 38323
This theorem is referenced by:  caragensal  38356
  Copyright terms: Public domain W3C validator