Theorem caragenunicl 38355

Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenunicl.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caragenunicl.s	|- S = (CaraGen ` O )
caragenunicl.y	|- ( ph -> X C_ S )
caragenunicl.ctb	|- ( ph -> X ~<_ om )

Assertion

Ref	Expression
caragenunicl	|- ( ph -> U. X e. S )

Proof of Theorem caragenunicl

Dummy variables n f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4209	. . . . 5 |- ( X = (/) -> U. X = U. (/) )
2		uni0 4228	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
3	1, 2	syl6eq 2503	. . . 4 |- ( X = (/) -> U. X = (/) )
4	3	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U. X = (/) )
5		caragenunicl.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. OutMeas )
6		caragenunicl.s	. . . . 5 |- S = (CaraGen ` O )
7	5, 6	caragen0 38337	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. S )
8	7	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> (/) e. S )
9	4, 8	eqeltrd 2531	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U. X e. S )
10		simpl 459	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ph )
11		neqne 37384	. . . 4 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
12	11	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
13		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X =/= (/) )
14		caragenunicl.ctb	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X ~<_ om )
15		reldom 7580	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
16		brrelex 4876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel ~<_ /\ X ~<_ om ) -> X e. _V )
17	15, 16	mpan 677	. . . . . . . . 9 |- ( X ~<_ om -> X e. _V )
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. _V )
19	18	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X e. _V )
20		0sdomg 7706	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( (/) ~< X <-> X =/= (/) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( (/) ~< X <-> X =/= (/) ) )
22	13, 21	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (/) ~< X )
23		nnenom 12200	. . . . . . . . 9 |- NN ~~ om
24	23	ensymi 7624	. . . . . . . 8 |- om ~~ NN
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> om ~~ NN )
26		domentr 7633	. . . . . . 7 |- ( ( X ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> X ~<_ NN )
27	14, 25, 26	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> X ~<_ NN )
28	27	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X ~<_ NN )
29		fodomr 7728	. . . . 5 |- ( ( (/) ~< X /\ X ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> X )
30	22, 28, 29	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. f f : NN -onto-> X )
31		founiiun 37456	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN -onto-> X -> U. X = U_ n e. NN ( f ` n ) )
32	31	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> U. X = U_ n e. NN ( f ` n ) )
33	5	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> O e. OutMeas )
34		1zzd 10975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> 1 e. ZZ )
35		nnuz 11201	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36		fof 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> X -> f : NN --> X )
37	36	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> f : NN --> X )
38		caragenunicl.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X C_ S )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> X C_ S )
40	37, 39	fssd 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> f : NN --> S )
41	33, 6, 34, 35, 40	carageniuncl 38354	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> U_ n e. NN ( f ` n ) e. S )
42	32, 41	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : NN -onto-> X ) -> U. X e. S )
43	42	ex 436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f : NN -onto-> X -> U. X e. S ) )
44	43	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( f : NN -onto-> X -> U. X e. S ) )
45	44	exlimdv 1781	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( E. f f : NN -onto-> X -> U. X e. S ) )
46	30, 45	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> U. X e. S )
47	10, 12, 46	syl2anc 667	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> U. X e. S )
48	9, 47	pm2.61dan 801	1 |- ( ph -> U. X e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   (/)c0 3733   U.cuni 4201   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   Rel wrel 4842   -->wf 5581   -onto->wfo 5583   ` cfv 5585   omcom 6697   ~~ cen 7571   ~<_ cdom 7572   ~< csdm 7573   1c1 9545   NNcn 10616  OutMeascome 38320  CaraGenccaragen 38322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-ac2 8898  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-ac 8552  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-sumge0 38215  df-ome 38321  df-caragen 38323

This theorem is referenced by:  caragensal  38356