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Theorem itg2seq 22318
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 22331, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 11334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  < +oo )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  n  < +oo )
5 iftrue 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  = +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  = +oo )
84, 6, 73brtr4d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  = +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 22308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
12 xrrebnd 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
14 itg2ge0 22311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )
15 mnflt0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  <  0
16 mnfxr 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  e.  RR*
17 0xr 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
18 xrltletr 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
1916, 17, 18mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2115, 20mpani 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  F )  -> -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> -oo  <  ( S.2 `  F
) )
2322biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  < +oo  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
24 nltpnft 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  = +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  < +oo ) )
2511, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  = +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  < +oo ) )
2625con2bid 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  < +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  = +oo ) )
2713, 23, 263bitr2rd 282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( -.  ( S.2 `  F )  = +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
2827biimpa 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
2928adantlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
30 nnrp 11230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3130rpreccld 11269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3231ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3329, 32ltsubrpd 11287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3410, 33eqbrtrd 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
358, 34pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
36 nnrecre 10568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3736ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
3829, 37resubcld 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
392, 38ifclda 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
4039rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR* )
4111adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
42 xrltnle 9642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
4435, 43mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
45 itg2leub 22310 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4640, 45syldan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4744, 46mtbid 298 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e. 
dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
48 rexanali 2907 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4947, 48sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
50 itg1cl 22261 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
51 ltnle 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5239, 50, 51syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5352anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5453rexbidva 2962 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e. 
dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5549, 54mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5655ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
57 ovex 6298 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
58 i1ff 22252 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
59 reex 9572 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6059, 59elmap 7440 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6158, 60sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6261ssriv 3493 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6357, 62ssexi 4582 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
64 nnenom 12075 . . . 4  |-  NN  ~~  om
65 breq1 4442 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  oR  <_  F 
<->  ( g `  n
)  oR  <_  F ) )
66 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6766breq2d 4451 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
6865, 67anbi12d 708 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
6963, 64, 68axcc4 8810 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7056, 69syl 16 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) ) )
71 simprl 754 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
72 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  oR  <_  F )
7372ralimi 2847 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  oR  <_  F )
7473ad2antll 726 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  oR  <_  F )
75 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7675fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7776cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
7877rneqi 5218 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
7978supeq1i 7898 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
80 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
81 itg1cl 22261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
83 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8482, 83fmptd 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8584ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
86 frn 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
88 ressxr 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
8987, 88syl6ss 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
90 supxrcl 11509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9279, 91syl5eqelr 2547 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
93 elxr 11328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
94 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  e.  RR )
95 arch 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
975adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
9897breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
9998rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10096, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10128adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
102 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  e.  RR )
103101, 102resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
104 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
105102, 101posdifd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
106104, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
107 nnrecl 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
108103, 106, 107syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
10936adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
110101adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
111102adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
112 ltsub13 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
113109, 110, 111, 112syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1149ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
115114breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
116113, 115bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
117116rexbidva 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
118108, 117mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
119100, 118pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
120119expr 613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
121 rexr 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
122 xrltnle 9642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
123121, 11, 122syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
124121ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12540adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
126 xrltnle 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
127124, 125, 126syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
128127rexbidva 2962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129 rexnal 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
130128, 129syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
131120, 123, 1303imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F )  <_  x  ->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
132131con4d 105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13311adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
134 pnfge 11342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_ +oo )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  <_ +oo )
136 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  x  = +oo )
137135, 136breqtrrd 4465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
138137a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
139 1nn 10542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
140139ne0ii 3790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
141 r19.2z 3906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
142140, 141mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14339adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
144 mnflt 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  -> -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
145 rexr 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
146 xrltnle 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ -oo ) )
14716, 145, 146sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  ( -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_ -oo ) )
148144, 147mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ -oo )
149143, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_ -oo )
150 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  = -oo )
151150breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_ -oo ) )
152149, 151mtbird 299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
153152nrexdv 2910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
154153pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
155142, 154syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
156132, 138, 1553jaodan 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
15793, 156sylan2b 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
158157ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159158adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16040adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16182adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
162161rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
163 xrltle 11358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
164160, 162, 163syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16584adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) : NN --> RR )
166165, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR )
167166, 88syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR* )
168167adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
16978, 168syl5eqssr 3534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
170 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
171170fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
172 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
173 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
174171, 172, 173fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
175 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
176175, 172fnmpti 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
177 fnfvelrn 6004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
178176, 177mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
179174, 178eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
180179adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
181 supxrub 11519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
182169, 180, 181syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
183168, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18479, 183syl5eqelr 2547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
185 xrletr 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
186160, 162, 184, 185syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
187182, 186mpan2d 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
188164, 187syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189188adantld 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190189ralimdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191190impr 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
192 breq2 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
193192ralbidv 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
194 breq2 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
195193, 194imbi12d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
196195rspcv 3203 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
19792, 159, 191, 196syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
198197, 79syl6breqr 4479 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
199 itg2ub 22309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g `  n
)  e.  dom  S.1  /\  ( g `  n
)  oR  <_  F )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
2001993expia 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g `  n
)  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
20180, 200sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( g `  n )  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F ) ) )
202201anassrs 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
203202adantrd 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
204203ralimdva 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
205204impr 617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20676, 83, 175fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
207206breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
208207ralbiia 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20976breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
210209cbvralv 3081 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
211208, 210bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
212205, 211sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
213 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
214 breq1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
215214ralrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21685, 213, 2153syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
217212, 216mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
21811adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
219 supxrleub 11521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22089, 218, 219syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
221217, 220mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22211adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
223167, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
224 xrletri3 11361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
225222, 223, 224syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
226225adantrr 714 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
227198, 221, 226mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
22871, 74, 2273jca 1174 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
229228ex 432 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
230229eximdv 1715 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23170, 230mpd 15 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oRcofr 6512    ^m cmap 7412   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   RR+crp 11221   [,]cicc 11535   S.1citg1 22193   S.2citg2 22194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-xmet 18610  df-met 18611  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197  df-itg1 22198  df-itg2 22199
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