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Theorem itg2seq 19587
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 19600, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 9963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  <  +oo )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  n  <  +oo )
5 iftrue 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  =  +oo )
84, 6, 73brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 19577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
12 xrrebnd 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  <  +oo ) ) )
14 itg2ge0 19580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  F
) )
15 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
16 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -oo  <  0
18 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -oo  e.  RR*
19 0xr 9087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
20 xrltletr 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( (  -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2118, 19, 20mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2317, 22mpani 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  F )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2414, 23mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  -oo  <  ( S.2 `  F ) )
2524biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  (  -oo  <  ( S.2 `  F )  /\  ( S.2 `  F
)  <  +oo ) ) )
26 nltpnft 10710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2711, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  =  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  <  +oo ) )
2827con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( S.2 `  F )  <  +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo ) )
2913, 25, 283bitr2rd 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  =  +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
3029biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
32 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3332rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3433ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3531, 34ltsubrpd 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3610, 35eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
378, 36pm2.61dan 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F ) )
38 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3938ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
4031, 39resubcld 9421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
412, 40ifclda 3726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
4241rexrd 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
4311adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
44 xrltnle 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4637, 45mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
47 itg2leub 19579 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4842, 47syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4946, 48mtbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
50 rexanali 2712 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5149, 50sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
52 itg1cl 19530 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
53 ltnle 9111 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5554anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5655rexbidva 2683 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5751, 56mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5857ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e. 
dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
59 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
60 i1ff 19521 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
61 reex 9037 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6261, 61elmap 7001 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6360, 62sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6463ssriv 3312 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6559, 64ssexi 4308 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
66 nnenom 11274 . . . 4  |-  NN  ~~  om
67 breq1 4175 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  o R  <_  F 
<->  ( g `  n
)  o R  <_  F ) )
68 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6968breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
7067, 69anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7165, 66, 70axcc4 8275 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7258, 71syl 16 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
73 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
74 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  o R  <_  F )
7574ralimi 2741 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
7675ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F )
77 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7877fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7978cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8079rneqi 5055 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
8180supeq1i 7410 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
82 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
83 itg1cl 19530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
85 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8786ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
88 frn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
90 ressxr 9085 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
9189, 90syl6ss 3320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
92 supxrcl 10849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9481, 93syl5eqelr 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
95 elxr 10672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = 
+oo  \/  x  =  -oo ) )
96 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  x  e.  RR )
97 arch 10174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
995adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
10099breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
101100rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10298, 101mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = 
+oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10330adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
104 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  e.  RR )
105103, 104resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
106 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
107104, 103posdifd 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
108106, 107mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
109 nnrecl 10175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
110105, 108, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
11138adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
112103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
113104adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
114 ltsub13 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1169ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
117116breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
118115, 117bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
119118rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
120110, 119mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  =  +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
121102, 120pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F
) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
122121expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
123 rexr 9086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
124 xrltnle 9100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
125123, 11, 124syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
126123ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12742adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
128 xrltnle 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129126, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
130129rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
131 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
132130, 131syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
133122, 125, 1323imtr3d 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F
)  <_  x  ->  -. 
A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
134133con4d 99 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13511adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
136 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  +oo )
138 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  x  =  +oo )
139137, 138breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  <_  x )
140139a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
141 1nn 9967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
142 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
144 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
145143, 144mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14641adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
147 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
148 rexr 9086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
149 xrltnle 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo ) )
15018, 148, 149sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  (  -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
151147, 150mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  -oo )
152146, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  -oo )
153 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  -oo )
154153breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  -oo ) )
155152, 154mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
156155nrexdv 2769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
157156pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
158145, 157syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  =  -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159134, 140, 1583jaodan 1250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  \/  x  =  +oo  \/  x  =  -oo ) )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16095, 159sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
161160ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
162161adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16342adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16484adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
165164rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
166 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
167163, 165, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16886adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
169168, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
170169, 90syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
17280, 171syl5eqssr 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
173 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
174173fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
175 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
176 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
177174, 175, 176fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
178 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
179178, 175fnmpti 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
180 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
181179, 180mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
182177, 181eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
183182adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
184 supxrub 10859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
185172, 183, 184syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
186171, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18781, 186syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
188 xrletr 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189163, 165, 187, 188syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190185, 189mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191167, 190syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
192191adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
193192ralimdva 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
194193impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
195 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
196195ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
197 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
198196, 197imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
199198rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
20094, 162, 194, 199syl3c 59 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
201200, 81syl6breqr 4212 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
202 itg2ub 19578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1  /\  (
g `  n )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
2032023expia 1155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g `  n )  e.  dom  S.1 )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
20482, 203sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  ->  ( (
g `  n )  o R  <_  F  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
205204anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  o R  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
206205adantrd 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
207206ralimdva 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
208207impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20978, 85, 178fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
210209breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
211210ralbiia 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
21278breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
213212cbvralv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
214211, 213bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
215208, 214sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
216 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
217 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
218217ralrn 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21987, 216, 2183syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
220215, 219mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
22111adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
222 supxrleub 10861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22391, 221, 222syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
224220, 223mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22511adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
226170, 92syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
227 xrletri3 10701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
228225, 226, 227syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
229228adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
230201, 224, 229mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
23173, 76, 2303jca 1134 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
232231ex 424 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( g `  n
)  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
233232eximdv 1629 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  o R  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  =  +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23472, 233mpd 15 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  o R  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Rcofr 6263    ^m cmap 6977   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   S.1citg1 19460   S.2citg2 19461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467
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