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Theorem itg2seq 22318

Description: Definitional property of the

integral: for any function

there is a countable sequence

of simple functions less than

whose integrals converge to the integral of

. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 22331, but unlike that theorem this one doesn't require

to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
itg2seq	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem itg2seq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10538	. . . . . . . . . . . 12
2	1	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
3		ltpnf 11334	. . . . . . . . . . 11
4	2, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
5		iftrue 3935	. . . . . . . . . . 11
6	5	adantl 464	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
7		simpr 459	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	4, 6, 7	3brtr4d 4469	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
9		iffalse 3938	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantl 464	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
11		itg2cl 22308	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		xrrebnd 11372	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14		itg2ge0 22311	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15		mnflt0 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		mnfxr 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17		0xr 9629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18		xrltletr 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19	16, 17, 18	mp3an12 1312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
20	11, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
21	15, 20	mpani 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	14, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	biantrurd 506	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		nltpnft 11370	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	11, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	con2bid 327	. . . . . . . . . . . . . 14
27	13, 23, 26	3bitr2rd 282	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
29	28	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
30		nnrp 11230	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	rpreccld 11269	. . . . . . . . . . . 12
32	31	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
33	29, 32	ltsubrpd 11287	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
34	10, 33	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
35	8, 34	pm2.61dan 789	. . . . . . . 8 $/\$
36		nnrecre 10568	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38	29, 37	resubcld 9983	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
39	2, 38	ifclda 3961	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	39	rexrd 9632	. . . . . . . . 9 $/\$
41	11	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
42		xrltnle 9642	. . . . . . . . 9 $/\$
43	40, 41, 42	syl2anc 659	. . . . . . . 8 $/\$
44	35, 43	mpbid 210	. . . . . . 7 $/\$
45		itg2leub 22310	. . . . . . . 8 $/\$
46	40, 45	syldan 468	. . . . . . 7 $/\$
47	44, 46	mtbid 298	. . . . . 6 $/\$
48		rexanali 2907	. . . . . 6 $/\$
49	47, 48	sylibr 212	. . . . 5 $/\$ $/\$
50		itg1cl 22261	. . . . . . . 8
51		ltnle 9653	. . . . . . . 8 $/\$
52	39, 50, 51	syl2an 475	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
53	52	anbi2d 701	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	rexbidva 2962	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
55	49, 54	mpbird 232	. . . 4 $/\$ $/\$
56	55	ralrimiva 2868	. . 3 $/\$
57		ovex 6298	. . . . 5
58		i1ff 22252	. . . . . . 7
59		reex 9572	. . . . . . . 8
60	59, 59	elmap 7440	. . . . . . 7
61	58, 60	sylibr 212	. . . . . 6
62	61	ssriv 3493	. . . . 5
63	57, 62	ssexi 4582	. . . 4
64		nnenom 12075	. . . 4
65		breq1 4442	. . . . 5
66		fveq2 5848	. . . . . 6
67	66	breq2d 4451	. . . . 5
68	65, 67	anbi12d 708	. . . 4 $/\$ $/\$
69	63, 64, 68	axcc4 8810	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	56, 69	syl 16	. 2 $/\$ $/\$
71		simprl 754	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpl 455	. . . . . . 7 $/\$
73	72	ralimi 2847	. . . . . 6 $/\$
74	73	ad2antll 726	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
75		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12
77	76	cbvmptv 4530	. . . . . . . . . . 11
78	77	rneqi 5218	. . . . . . . . . 10
79	78	supeq1i 7898	. . . . . . . . 9
80		ffvelrn 6005	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81		itg1cl 22261	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
83		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14
84	82, 83	fmptd 6031	. . . . . . . . . . . . 13
85	84	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86		frn 5719	. . . . . . . . . . . 12
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88		ressxr 9626	. . . . . . . . . . 11
89	87, 88	syl6ss 3501	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90		supxrcl 11509	. . . . . . . . . 10
91	89, 90	syl 16	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
92	79, 91	syl5eqelr 2547	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		elxr 11328	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
94		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
95		arch 10788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
97	5	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	rexbidv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
100	96, 99	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
101	28	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
103	101, 102	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 101	posdifd 10135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
106	104, 105	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
107		nnrecl 10789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
108	103, 106, 107	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
109	36	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	101	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	102	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		ltsub13 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
113	109, 110, 111, 112	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	9	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	113, 115	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	rexbidva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	108, 117	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	100, 118	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
120	119	expr 613	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121		rexr 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15
122		xrltnle 9642	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
123	121, 11, 122	syl2anr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
124	121	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
125	40	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
126		xrltnle 9642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
127	124, 125, 126	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
128	127	rexbidva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
129		rexnal 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	128, 129	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
131	120, 123, 130	3imtr3d 267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
132	131	con4d 105	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133	11	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
134		pnfge 11342	. . . . . . . . . . . . . . 15
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
136		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
137	135, 136	breqtrrd 4465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
138	137	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139		1nn 10542	. . . . . . . . . . . . . . 15
140	139	ne0ii 3790	. . . . . . . . . . . . . 14
141		r19.2z 3906	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
142	140, 141	mpan 668	. . . . . . . . . . . . 13
143	39	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
144		mnflt 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145		rexr 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146		xrltnle 9642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
147	16, 145, 146	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148	144, 147	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
149	143, 148	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
150		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
151	150	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
152	149, 151	mtbird 299	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
153	152	nrexdv 2910	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	153	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
155	142, 154	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
156	132, 138, 155	3jaodan 1292	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
157	93, 156	sylan2b 473	. . . . . . . . . 10 $/\$
158	157	ralrimiva 2868	. . . . . . . . 9
159	158	adantr 463	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
160	40	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
161	82	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
162	161	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
163		xrltle 11358	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
164	160, 162, 163	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
165	84	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
166	165, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
167	166, 88	syl6ss 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
168	167	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	78, 168	syl5eqssr 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171	170	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
172		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
173		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
174	171, 172, 173	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . . . . . . 16
175		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176	175, 172	fnmpti 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
177		fnfvelrn 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
178	176, 177	mpan 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
179	174, 178	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15
180	179	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
181		supxrub 11519	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
182	169, 180, 181	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
183	168, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
184	79, 183	syl5eqelr 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
185		xrletr 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
186	160, 162, 184, 185	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
187	182, 186	mpan2d 672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
188	164, 187	syld 44	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
189	188	adantld 465	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
190	189	ralimdva 2862	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
191	190	impr 617	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
192		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11
193	192	ralbidv 2893	. . . . . . . . . 10
194		breq2 4443	. . . . . . . . . 10
195	193, 194	imbi12d 318	. . . . . . . . 9
196	195	rspcv 3203	. . . . . . . 8
197	92, 159, 191, 196	syl3c 61	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
198	197, 79	syl6breqr 4479	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
199		itg2ub 22309	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
200	199	3expia 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
201	80, 200	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
202	201	anassrs 646	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
203	202	adantrd 466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
204	203	ralimdva 2862	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
205	204	impr 617	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
206	76, 83, 175	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . . 12
207	206	breq1d 4449	. . . . . . . . . . 11
208	207	ralbiia 2884	. . . . . . . . . 10
209	76	breq1d 4449	. . . . . . . . . . 11
210	209	cbvralv 3081	. . . . . . . . . 10
211	208, 210	bitr4i 252	. . . . . . . . 9
212	205, 211	sylibr 212	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
213		ffn 5713	. . . . . . . . 9
214		breq1 4442	. . . . . . . . . 10
215	214	ralrn 6010	. . . . . . . . 9
216	85, 213, 215	3syl 20	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
217	212, 216	mpbird 232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
218	11	adantr 463	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
219		supxrleub 11521	. . . . . . . 8 $/\$
220	89, 218, 219	syl2anc 659	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
221	217, 220	mpbird 232	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
222	11	adantr 463	. . . . . . . 8 $/\$
223	167, 90	syl 16	. . . . . . . 8 $/\$
224		xrletri3 11361	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
225	222, 223, 224	syl2anc 659	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
226	225	adantrr 714	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	198, 221, 226	mpbir2and 920	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
228	71, 74, 227	3jca 1174	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	ex 432	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	229	eximdv 1715	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	70, 230	mpd 15	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 184 $/\$ wa 367 $\/$ w3o 970 $/\$ w3a 971

wceq 1398

wex 1617

wcel 1823

wne 2649

wral 2804

wrex 2805

wss 3461

c0 3783

cif 3929 class class class wbr 4439

cmpt 4497

cdm 4988

crn 4989

wfn 5565

wf 5566

cfv 5570 (class class class)co 6270

cofr 6512

cmap 7412

csup 7892

cr 9480

cc0 9481

c1 9482

cpnf 9614

cmnf 9615

cxr 9616

clt 9617

cle 9618

cmin 9796

cdiv 10202

cn 10531

crp 11221

cicc 11535

citg1 22193

citg2 22194

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1623 ax-4 1636 ax-5 1709 ax-6 1752 ax-7 1795 ax-8 1825 ax-9 1827 ax-10 1842 ax-11 1847 ax-12 1859 ax-13 2004 ax-ext 2432 ax-rep 4550 ax-sep 4560 ax-nul 4568 ax-pow 4615 ax-pr 4676 ax-un 6565 ax-inf2 8049 ax-cc 8806 ax-cnex 9537 ax-resscn 9538 ax-1cn 9539 ax-icn 9540 ax-addcl 9541 ax-addrcl 9542 ax-mulcl 9543 ax-mulrcl 9544 ax-mulcom 9545 ax-addass 9546 ax-mulass 9547 ax-distr 9548 ax-i2m1 9549 ax-1ne0 9550 ax-1rid 9551 ax-rnegex 9552 ax-rrecex 9553 ax-cnre 9554 ax-pre-lttri 9555 ax-pre-lttrn 9556 ax-pre-ltadd 9557 ax-pre-mulgt0 9558 ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 368 df-an 369 df-3or 972 df-3an 973 df-tru 1401 df-fal 1404 df-ex 1618 df-nf 1622 df-sb 1745 df-eu 2288 df-mo 2289 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2651 df-nel 2652 df-ral 2809 df-rex 2810 df-reu 2811 df-rmo 2812 df-rab 2813 df-v 3108 df-sbc 3325 df-csb 3421 df-dif 3464 df-un 3466 df-in 3468 df-ss 3475 df-pss 3477 df-nul 3784 df-if 3930 df-pw 4001 df-sn 4017 df-pr 4019 df-tp 4021 df-op 4023 df-uni 4236 df-int 4272 df-iun 4317 df-br 4440 df-opab 4498 df-mpt 4499 df-tr 4533 df-eprel 4780 df-id 4784 df-po 4789 df-so 4790 df-fr 4827 df-se 4828 df-we 4829 df-ord 4870 df-on 4871 df-lim 4872 df-suc 4873 df-xp 4994 df-rel 4995 df-cnv 4996 df-co 4997 df-dm 4998 df-rn 4999 df-res 5000 df-ima 5001 df-iota 5534 df-fun 5572 df-fn 5573 df-f 5574 df-f1 5575 df-fo 5576 df-f1o 5577 df-fv 5578 df-isom 5579 df-riota 6232 df-ov 6273 df-oprab 6274 df-mpt2 6275 df-of 6513 df-ofr 6514 df-om 6674 df-1st 6773 df-2nd 6774 df-recs 7034 df-rdg 7068 df-1o 7122 df-2o 7123 df-oadd 7126 df-er 7303 df-map 7414 df-pm 7415 df-en 7510 df-dom 7511 df-sdom 7512 df-fin 7513 df-sup 7893 df-oi 7927 df-card 8311 df-cda 8539 df-pnf 9619 df-mnf 9620 df-xr 9621 df-ltxr 9622 df-le 9623 df-sub 9798 df-neg 9799 df-div 10203 df-nn 10532 df-2 10590 df-3 10591 df-n0 10792 df-z 10861 df-uz 11083 df-q 11184 df-rp 11222 df-xadd 11322 df-ioo 11536 df-ico 11538 df-icc 11539 df-fz 11676 df-fzo 11800 df-fl 11910 df-seq 12093 df-exp 12152 df-hash 12391 df-cj 13017 df-re 13018 df-im 13019 df-sqrt 13153 df-abs 13154 df-clim 13396 df-sum 13594 df-xmet 18610 df-met 18611 df-ovol 22045 df-vol 22046 df-mbf 22197 df-itg1 22198 df-itg2 22199

This theorem is referenced by: (None)

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