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Theorem itg2seq 21195
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 21208, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 11094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  < +oo )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  n  < +oo )
5 iftrue 3792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  = +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  = +oo )
84, 6, 73brtr4d 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  = +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 21185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
12 xrrebnd 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
14 itg2ge0 21188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )
15 mnflt0 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  <  0
16 mnfxr 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  e.  RR*
17 0xr 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
18 xrltletr 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
1916, 17, 18mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2115, 20mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  F )  -> -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> -oo  <  ( S.2 `  F
) )
2322biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  < +oo  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
24 nltpnft 11130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  = +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  < +oo ) )
2511, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  = +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  < +oo ) )
2625con2bid 329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  < +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  = +oo ) )
2713, 23, 263bitr2rd 282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( -.  ( S.2 `  F )  = +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
2827biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
2928adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
30 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3130rpreccld 11029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3329, 32ltsubrpd 11047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3410, 33eqbrtrd 4307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
358, 34pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
36 nnrecre 10350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
3829, 37resubcld 9768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
392, 38ifclda 3816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
4039rexrd 9425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR* )
4111adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
42 xrltnle 9435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
4435, 43mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
45 itg2leub 21187 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4640, 45syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4744, 46mtbid 300 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e. 
dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
48 rexanali 2756 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4947, 48sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
50 itg1cl 21138 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
51 ltnle 9446 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5239, 50, 51syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5352anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5453rexbidva 2727 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e. 
dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5549, 54mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5655ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
57 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
58 i1ff 21129 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
59 reex 9365 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6059, 59elmap 7233 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6158, 60sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6261ssriv 3355 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6357, 62ssexi 4432 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
64 nnenom 11794 . . . 4  |-  NN  ~~  om
65 breq1 4290 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  oR  <_  F 
<->  ( g `  n
)  oR  <_  F ) )
66 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6766breq2d 4299 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
6865, 67anbi12d 710 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
6963, 64, 68axcc4 8600 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7056, 69syl 16 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) ) )
71 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
72 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  oR  <_  F )
7372ralimi 2786 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  oR  <_  F )
7473ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  oR  <_  F )
75 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7675fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7776cbvmptv 4378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
7877rneqi 5061 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
7978supeq1i 7689 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
80 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
81 itg1cl 21138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
83 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8482, 83fmptd 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8584ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
86 frn 5560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
88 ressxr 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
8987, 88syl6ss 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
90 supxrcl 11269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9279, 91syl5eqelr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
93 elxr 11088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
94 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  e.  RR )
95 arch 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
975adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
9897breq2d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
9998rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10096, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10128adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
102 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  e.  RR )
103101, 102resubcld 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
104 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
105102, 101posdifd 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
106104, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
107 nnrecl 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
108103, 106, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
10936adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
110101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
111102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
112 ltsub13 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
113109, 110, 111, 112syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1149ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
115114breq2d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
116113, 115bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
117116rexbidva 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
118108, 117mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
119100, 118pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
120119expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
121 rexr 9421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
122 xrltnle 9435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
123121, 11, 122syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
124121ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12540adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
126 xrltnle 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
127124, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
128127rexbidva 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129 rexnal 2721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
130128, 129syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
131120, 123, 1303imtr3d 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F )  <_  x  ->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
132131con4d 105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
134 pnfge 11102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_ +oo )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  <_ +oo )
136 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  x  = +oo )
137135, 136breqtrrd 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
138137a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
139 1nn 10325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
140 ne0i 3638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
141139, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
142 r19.2z 3764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
143141, 142mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14439adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
145 mnflt 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  -> -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
146 rexr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
147 xrltnle 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ -oo ) )
14816, 146, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  ( -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_ -oo ) )
149145, 148mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ -oo )
150144, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_ -oo )
151 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  = -oo )
152151breq2d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_ -oo ) )
153150, 152mtbird 301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
154153nrexdv 2814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
155154pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
156143, 155syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
157132, 138, 1563jaodan 1284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
15893, 157sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159158ralrimiva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
160159adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16140adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16282adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
163162rexrd 9425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
164 xrltle 11118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
165161, 163, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16684adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) : NN --> RR )
167166, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR )
168167, 88syl6ss 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR* )
169168adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
17078, 169syl5eqssr 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
171 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
172171fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
173 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
174 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
175172, 173, 174fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
176 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
177176, 173fnmpti 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
178 fnfvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
179177, 178mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
180175, 179eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
181180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
182 supxrub 11279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
183170, 181, 182syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
184169, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18579, 184syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
186 xrletr 11124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
187161, 163, 185, 186syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
188183, 187mpan2d 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189165, 188syld 44 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190189adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191190ralimdva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
192191impr 619 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
193 breq2 4291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
194193ralbidv 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
195 breq2 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
196194, 195imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
197196rspcv 3064 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
19892, 160, 192, 197syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
199198, 79syl6breqr 4327 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
200 itg2ub 21186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g `  n
)  e.  dom  S.1  /\  ( g `  n
)  oR  <_  F )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
2012003expia 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g `  n
)  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
20280, 201sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( g `  n )  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F ) ) )
203202anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
204203adantrd 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
205204ralimdva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
206205impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20776, 83, 176fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
208207breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
209208ralbiia 2742 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
21076breq1d 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
211210cbvralv 2942 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
212209, 211bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
213206, 212sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
214 ffn 5554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
215 breq1 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
216215ralrn 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21785, 214, 2163syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
218213, 217mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
21911adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
220 supxrleub 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22189, 219, 220syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
222218, 221mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22311adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
224168, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
225 xrletri3 11121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
226223, 224, 225syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
227226adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
228199, 222, 227mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
22971, 74, 2283jca 1168 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
230229ex 434 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
231230eximdv 1676 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23270, 231mpd 15 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oRcofr 6314    ^m cmap 7206   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   +oocpnf 9407   -oocmnf 9408   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   RR+crp 10983   [,]cicc 11295   S.1citg1 21070   S.2citg2 21071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-xmet 17785  df-met 17786  df-ovol 20923  df-vol 20924  df-mbf 21074  df-itg1 21075  df-itg2 21076
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