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Theorem itg2seq 22748

Description: Definitional property of the

integral: for any function

there is a countable sequence

of simple functions less than

whose integrals converge to the integral of

. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 22761, but unlike that theorem this one doesn't require

to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
itg2seq	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem itg2seq Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10643	. . . . . . . . . . . 12
2	1	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
3		ltpnf 11450	. . . . . . . . . . 11
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
5		iftrue 3898	. . . . . . . . . . 11
6	5	adantl 472	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
7		simpr 467	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
8	4, 6, 7	3brtr4d 4446	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
9		iffalse 3901	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantl 472	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
11		itg2cl 22738	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		xrrebnd 11491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14		itg2ge0 22741	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15		mnflt0 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		mnfxr 11442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17		0xr 9712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18		xrltletr 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
19	16, 17, 18	mp3an12 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
21	15, 20	mpani 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	14, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	biantrurd 515	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		nltpnft 11489	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	11, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	con2bid 335	. . . . . . . . . . . . . 14
27	13, 23, 26	3bitr2rd 290	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	biimpa 491	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
29	28	adantlr 726	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
30		nnrp 11339	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	rpreccld 11379	. . . . . . . . . . . 12
32	31	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
33	29, 32	ltsubrpd 11398	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
34	10, 33	eqbrtrd 4436	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
35	8, 34	pm2.61dan 805	. . . . . . . 8 $/\$
36		nnrecre 10673	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38	29, 37	resubcld 10074	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
39	2, 38	ifclda 3924	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	39	rexrd 9715	. . . . . . . . 9 $/\$
41	11	adantr 471	. . . . . . . . 9 $/\$
42		xrltnle 9726	. . . . . . . . 9 $/\$
43	40, 41, 42	syl2anc 671	. . . . . . . 8 $/\$
44	35, 43	mpbid 215	. . . . . . 7 $/\$
45		itg2leub 22740	. . . . . . . 8 $/\$
46	40, 45	syldan 477	. . . . . . 7 $/\$
47	44, 46	mtbid 306	. . . . . 6 $/\$
48		rexanali 2851	. . . . . 6 $/\$
49	47, 48	sylibr 217	. . . . 5 $/\$ $/\$
50		itg1cl 22691	. . . . . . . 8
51		ltnle 9738	. . . . . . . 8 $/\$
52	39, 50, 51	syl2an 484	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
53	52	anbi2d 715	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	rexbidva 2909	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
55	49, 54	mpbird 240	. . . 4 $/\$ $/\$
56	55	ralrimiva 2813	. . 3 $/\$
57		ovex 6342	. . . . 5
58		i1ff 22682	. . . . . . 7
59		reex 9655	. . . . . . . 8
60	59, 59	elmap 7525	. . . . . . 7
61	58, 60	sylibr 217	. . . . . 6
62	61	ssriv 3447	. . . . 5
63	57, 62	ssexi 4561	. . . 4
64		nnenom 12224	. . . 4
65		breq1 4418	. . . . 5
66		fveq2 5887	. . . . . 6
67	66	breq2d 4427	. . . . 5
68	65, 67	anbi12d 722	. . . 4 $/\$ $/\$
69	63, 64, 68	axcc4 8894	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
70	56, 69	syl 17	. 2 $/\$ $/\$
71		simprl 769	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
72		simpl 463	. . . . . . 7 $/\$
73	72	ralimi 2792	. . . . . 6 $/\$
74	73	ad2antll 740	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
75		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12
77	76	cbvmptv 4508	. . . . . . . . . . 11
78	77	rneqi 5079	. . . . . . . . . 10
79	78	supeq1i 7986	. . . . . . . . 9
80		ffvelrn 6042	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
81		itg1cl 22691	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
83		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . 14
84	82, 83	fmptd 6068	. . . . . . . . . . . . 13
85	84	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
86		frn 5757	. . . . . . . . . . . 12
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88		ressxr 9709	. . . . . . . . . . 11
89	87, 88	syl6ss 3455	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90		supxrcl 11628	. . . . . . . . . 10
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
92	79, 91	syl5eqelr 2544	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
93		elxr 11444	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
94		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
95		arch 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
97	5	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	breq2d 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	rexbidv 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
100	96, 99	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
101	28	adantlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
103	101, 102	resubcld 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
105	102, 101	posdifd 10227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
106	104, 105	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
107		nnrecl 10895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
108	103, 106, 107	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
109	36	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	101	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	102	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		ltsub13 10122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
113	109, 110, 111, 112	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	9	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114	breq2d 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	113, 115	bitr4d 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	rexbidva 2909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	108, 117	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	100, 118	pm2.61dan 805	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
120	119	expr 624	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121		rexr 9711	. . . . . . . . . . . . . . 15
122		xrltnle 9726	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
123	121, 11, 122	syl2anr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
124	121	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
125	40	adantlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
126		xrltnle 9726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
127	124, 125, 126	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
128	127	rexbidva 2909	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
129		rexnal 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	128, 129	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
131	120, 123, 130	3imtr3d 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
132	131	con4d 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133	11	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
134		pnfge 11460	. . . . . . . . . . . . . . 15
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
136		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
137	135, 136	breqtrrd 4442	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
138	137	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139		1nn 10647	. . . . . . . . . . . . . . 15
140	139	ne0ii 3749	. . . . . . . . . . . . . 14
141		r19.2z 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
142	140, 141	mpan 681	. . . . . . . . . . . . 13
143	39	adantlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
144		mnflt 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145		rexr 9711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146		xrltnle 9726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
147	16, 145, 146	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148	144, 147	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
149	143, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
150		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
151	150	breq2d 4427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
152	149, 151	mtbird 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
153	152	nrexdv 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	153	pm2.21d 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
155	142, 154	syl5 33	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
156	132, 138, 155	3jaodan 1343	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
157	93, 156	sylan2b 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
158	157	ralrimiva 2813	. . . . . . . . 9
159	158	adantr 471	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
160	40	adantlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
161	82	adantll 725	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
162	161	rexrd 9715	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
163		xrltle 11476	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
164	160, 162, 163	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
165	84	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
166	165, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
167	166, 88	syl6ss 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
168	167	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	78, 168	syl5eqssr 3488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171	170	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
172		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
173		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
174	171, 172, 173	fvmpt 5970	. . . . . . . . . . . . . . . 16
175		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176	175, 172	fnmpti 5727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
177		fnfvelrn 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
178	176, 177	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . . . 16
179	174, 178	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . 15
180	179	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
181		supxrub 11638	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
182	169, 180, 181	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
183	168, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
184	79, 183	syl5eqelr 2544	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
185		xrletr 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
186	160, 162, 184, 185	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
187	182, 186	mpan2d 685	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
188	164, 187	syld 45	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
189	188	adantld 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
190	189	ralimdva 2807	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
191	190	impr 629	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
192		breq2 4419	. . . . . . . . . . 11
193	192	ralbidv 2838	. . . . . . . . . 10
194		breq2 4419	. . . . . . . . . 10
195	193, 194	imbi12d 326	. . . . . . . . 9
196	195	rspcv 3157	. . . . . . . 8
197	92, 159, 191, 196	syl3c 63	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
198	197, 79	syl6breqr 4456	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
199		itg2ub 22739	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
200	199	3expia 1217	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
201	80, 200	sylan2 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
202	201	anassrs 658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
203	202	adantrd 474	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
204	203	ralimdva 2807	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
205	204	impr 629	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
206	76, 83, 175	fvmpt 5970	. . . . . . . . . . . 12
207	206	breq1d 4425	. . . . . . . . . . 11
208	207	ralbiia 2829	. . . . . . . . . 10
209	76	breq1d 4425	. . . . . . . . . . 11
210	209	cbvralv 3030	. . . . . . . . . 10
211	208, 210	bitr4i 260	. . . . . . . . 9
212	205, 211	sylibr 217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
213		ffn 5750	. . . . . . . . 9
214		breq1 4418	. . . . . . . . . 10
215	214	ralrn 6047	. . . . . . . . 9
216	85, 213, 215	3syl 18	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
217	212, 216	mpbird 240	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
218	11	adantr 471	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
219		supxrleub 11640	. . . . . . . 8 $/\$
220	89, 218, 219	syl2anc 671	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
221	217, 220	mpbird 240	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
222	11	adantr 471	. . . . . . . 8 $/\$
223	167, 90	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
224		xrletri3 11479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
225	222, 223, 224	syl2anc 671	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
226	225	adantrr 728	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	198, 221, 226	mpbir2and 938	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
228	71, 74, 227	3jca 1194	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	ex 440	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	229	eximdv 1774	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	70, 230	mpd 15	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 189 $/\$ wa 375 $\/$ w3o 990 $/\$ w3a 991

wceq 1454

wex 1673

wcel 1897

wne 2632

wral 2748

wrex 2749

wss 3415

c0 3742

cif 3892 class class class wbr 4415

cmpt 4474

cdm 4852

crn 4853

wfn 5595

wf 5596

cfv 5600 (class class class)co 6314

cofr 6556

cmap 7497

csup 7979

cr 9563

cc0 9564

c1 9565

cpnf 9697

cmnf 9698

cxr 9699

clt 9700

cle 9701

cmin 9885

cdiv 10296

cn 10636

crp 11330

cicc 11666

citg1 22621

citg2 22622

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-rep 4528 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-inf2 8171 ax-cc 8890 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-fal 1460 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rmo 2756 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-int 4248 df-iun 4293 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-se 4812 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-isom 5609 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-of 6557 df-ofr 6558 df-om 6719 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-1o 7207 df-2o 7208 df-oadd 7211 df-er 7388 df-map 7499 df-pm 7500 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-fin 7598 df-sup 7981 df-inf 7982 df-oi 8050 df-card 8398 df-cda 8623 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-div 10297 df-nn 10637 df-2 10695 df-3 10696 df-n0 10898 df-z 10966 df-uz 11188 df-q 11293 df-rp 11331 df-xadd 11438 df-ioo 11667 df-ico 11669 df-icc 11670 df-fz 11813 df-fzo 11946 df-fl 12059 df-seq 12245 df-exp 12304 df-hash 12547 df-cj 13210 df-re 13211 df-im 13212 df-sqrt 13346 df-abs 13347 df-clim 13600 df-sum 13801 df-xmet 19011 df-met 19012 df-ovol 22464 df-vol 22466 df-mbf 22625 df-itg1 22626 df-itg2 22627

This theorem is referenced by: (None)

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