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Theorem itg2seq 22577
Description: Definitional property of the  S.2 integral: for any function  F there is a countable sequence 
g of simple functions less than  F whose integrals converge to the integral of  F. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 22590, but unlike that theorem this one doesn't require  F to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable group:    g, n, F

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables  f  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
21ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  n  e.  RR )
3 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  RR  ->  n  < +oo )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  n  < +oo )
5 iftrue 3921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S.2 `  F )  = +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
65adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  n )
7 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  = +oo )
84, 6, 73brtr4d 4456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
9 iffalse 3924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( S.2 `  F
)  = +oo  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
109adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) )
11 itg2cl 22567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
12 xrrebnd 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
14 itg2ge0 22570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )
15 mnflt0 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  <  0
16 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  e.  RR*
17 0xr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR*
18 xrltletr 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_ 
( S.2 `  F ) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
1916, 17, 18mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F
) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( S.2 `  F ) )  -> -oo  <  ( S.2 `  F ) ) )
2115, 20mpani 680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  F )  -> -oo  <  ( S.2 `  F
) ) )
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> -oo  <  ( S.2 `  F
) )
2322biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  < +oo  <->  ( -oo  <  ( S.2 `  F
)  /\  ( S.2 `  F )  < +oo ) ) )
24 nltpnft 11461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( ( S.2 `  F )  = +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  < +oo ) )
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  = +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  < +oo ) )
2625con2bid 330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  < +oo  <->  -.  ( S.2 `  F )  = +oo ) )
2713, 23, 263bitr2rd 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( -.  ( S.2 `  F )  = +oo  <->  ( S.2 `  F )  e.  RR ) )
2827biimpa 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( S.2 `  F
)  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
2928adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
30 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
3130rpreccld 11351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
3231ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
3329, 32ltsubrpd 11370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  <  ( S.2 `  F ) )
3410, 33eqbrtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F ) )
358, 34pm2.61dan 798 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F
) )
36 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
3736ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
3829, 37resubcld 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) )  e.  RR )
392, 38ifclda 3947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
4039rexrd 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR* )
4111adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
42 xrltnle 9700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
4435, 43mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
45 itg2leub 22569 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4640, 45syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
4744, 46mtbid 301 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. f  e. 
dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
48 rexanali 2885 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
4947, 48sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
50 itg1cl 22520 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
51 ltnle 9712 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR  /\  ( S.1 `  f )  e.  RR )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5239, 50, 51syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <->  -.  ( S.1 `  f
)  <_  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
5352anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  ( (
f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  f ) )  <-> 
( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5453rexbidva 2943 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. f  e. 
dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) ) )
5549, 54mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
5655ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) ) )
57 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( RR 
^m  RR )  e. 
_V
58 i1ff 22511 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x : RR --> RR )
59 reex 9629 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
6059, 59elmap 7508 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  RR )  <->  x : RR --> RR )
6158, 60sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  S.1  ->  x  e.  ( RR  ^m  RR ) )
6261ssriv 3474 . . . . 5  |-  dom  S.1  C_  ( RR  ^m  RR )
6357, 62ssexi 4570 . . . 4  |-  dom  S.1  e.  _V
64 nnenom 12190 . . . 4  |-  NN  ~~  om
65 breq1 4429 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
f  oR  <_  F 
<->  ( g `  n
)  oR  <_  F ) )
66 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( S.1 `  f )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
6766breq2d 4438 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f )  <-> 
if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) )
6865, 67anbi12d 715 . . . 4  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  <->  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
6963, 64, 68axcc4 8867 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  f ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )
7056, 69syl 17 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) ) )
71 simprl 762 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
g : NN --> dom  S.1 )
72 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  ( g `  n )  oR  <_  F )
7372ralimi 2825 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  oR  <_  F )
7473ad2antll 733 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( g `  n
)  oR  <_  F )
75 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
7675fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
7776cbvmptv 4518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
7877rneqi 5081 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
7978supeq1i 7967 . . . . . . . . 9  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
80 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( g `  n )  e.  dom  S.1 )
81 itg1cl 22520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  e.  RR )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  e.  RR )
83 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )
8482, 83fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> dom  S.1  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
8584ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR )
86 frn 5752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR )
88 ressxr 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
8987, 88syl6ss 3482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
90 supxrcl 11600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
9279, 91syl5eqelr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
93 elxr 11416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
94 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  e.  RR )
95 arch 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
975adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  =  n )
9897breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  x  <  n ) )
9998rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n
) )
10096, 99mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
10128adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
102 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  e.  RR )
103101, 102resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR )
104 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  x  <  ( S.2 `  F
) )
105102, 101posdifd 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( x  <  ( S.2 `  F )  <->  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) ) )
106104, 105mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
0  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
107 nnrecl 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S.2 `  F
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <  ( ( S.2 `  F
)  -  x ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x ) )
108103, 106, 107syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x ) )
10936adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR )
110101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
111102adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
112 ltsub13 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( ( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
113109, 110, 111, 112syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
1149ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )
115114breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  x  <  ( ( S.2 `  F
)  -  ( 1  /  n ) ) ) )
116113, 115bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
117116rexbidva 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
( S.2 `  F )  -  x )  <->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) ) )
118108, 117mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  < 
( S.2 `  F ) ) )  /\  -.  ( S.2 `  F )  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
119100, 118pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  ( S.2 `  F ) ) )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) )
120119expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( S.2 `  F )  ->  E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) ) ) )
121 rexr 9685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
122 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
123121, 11, 122syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  ( S.2 `  F )  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  x ) )
124121ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR* )
12540adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
126 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
127124, 125, 126syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  < 
if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  x ) )
128127rexbidva 2943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x ) )
129 rexnal 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. n  e.  NN  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
130128, 129syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  NN  x  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
131120, 123, 1303imtr3d 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( S.2 `  F )  <_  x  ->  -.  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
) )
132131con4d 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
13311adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
134 pnfge 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S.2 `  F )  e.  RR*  ->  ( S.2 `  F )  <_ +oo )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  <_ +oo )
136 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  x  = +oo )
137135, 136breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
138137a1d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = +oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
139 1nn 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
140139ne0ii 3774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =/=  (/)
141 r19.2z 3892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
142140, 141mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x )
14339adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR )
144 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  -> -oo  <  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) ) )
145 rexr 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  e.  RR* )
146 xrltnle 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )  ->  ( -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ -oo ) )
14716, 145, 146sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  ( -oo  <  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_ -oo ) )
148144, 147mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR  ->  -.  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ -oo )
149143, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_ -oo )
150 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  x  = -oo )
151150breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_ -oo ) )
152149, 151mtbird 302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
153152nrexdv 2888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  -.  E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x
)
154153pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  ( E. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
155142, 154syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  = -oo )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
156132, 138, 1553jaodan 1330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
15793, 156sylan2b 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR* )  -> 
( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
158157ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
159158adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )
)
16040adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  e. 
RR* )
16182adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e.  RR )
162161rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )
163 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
164160, 162, 163syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )
16584adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) : NN --> RR )
166165, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR )
167166, 88syl6ss 3482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR* )
168167adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  C_  RR* )
16978, 168syl5eqssr 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  C_  RR* )
170 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
171170fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  ( S.1 `  ( g `  m ) )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
172 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )
173 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S.1 `  ( g `  n
) )  e.  _V
174171, 172, 173fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  =  ( S.1 `  (
g `  n )
) )
175 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S.1 `  ( g `  m
) )  e.  _V
176175, 172fnmpti 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) )  Fn  NN
177 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) )  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) `  n
)  e.  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) )
178176, 177mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) `  n )  e.  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) )
179174, 178eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
180179adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )
181 supxrub 11610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) )  C_  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) )  -> 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
182169, 180, 181syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
183168, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
18479, 183syl5eqelr 2522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
185 xrletr 11455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR*  /\  ( S.1 `  ( g `  n ) )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
186160, 162, 184, 185syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  ( S.1 `  ( g `  n ) )  /\  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
187182, 186mpan2d 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
188164, 187syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) )  ->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
189188adantld 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  if (
( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
190189ralimdva 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191190impr 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
192 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x 
<->  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
193192ralbidv 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  <->  A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
194 breq2 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( S.2 `  F )  <_  x  <->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
195193, 194imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  <->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
196195rspcv 3184 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  ->  ( A. x  e.  RR*  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  x  ->  ( S.2 `  F
)  <_  x )  ->  ( A. n  e.  NN  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  ->  ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
19792, 159, 191, 196syl3c 63 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
198197, 79syl6breqr 4466 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
199 itg2ub 22568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g `  n
)  e.  dom  S.1  /\  ( g `  n
)  oR  <_  F )  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
2001993expia 1207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g `  n
)  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
20180, 200sylan2 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( g `  n )  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F ) ) )
202201anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
203202adantrd 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  ( S.1 `  ( g `  n
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
204203ralimdva 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  (
g `  n )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
205204impr 623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20676, 83, 175fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
g `  m )
) )
207206breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( S.1 `  ( g `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
208207ralbiia 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
20976breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  ( S.1 `  (
g `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
210209cbvralv 3062 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `  n ) )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 m ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
211208, 210bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. n  e.  NN  ( S.1 `  ( g `
 n ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
212205, 211sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) )
213 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN )
214 breq1 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  F )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F
) ) )
215214ralrn 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  F ) ) )
21685, 213, 2153syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  F ) ) )
217212, 216mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) )
21811adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
219 supxrleub 11612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
22089, 218, 219syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  F ) ) )
221217, 220mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) )
22211adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
223167, 90syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
224 xrletri3 11451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
225222, 223, 224syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  g : NN --> dom  S.1 )  ->  ( ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  F ) ) ) )
226225adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( S.2 `  F
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
227198, 221, 226mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
22871, 74, 2273jca 1185 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( ( g `
 n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ) )  -> 
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
229228ex 435 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
( g `  n
)  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F )  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  (
1  /  n ) ) )  <  ( S.1 `  ( g `  n ) ) ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
230229eximdv 1757 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( g `  n )  oR  <_  F  /\  if ( ( S.2 `  F
)  = +oo ,  n ,  ( ( S.2 `  F )  -  ( 1  /  n
) ) )  < 
( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
23170, 230mpd 15 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
g `  n )  oR  <_  F  /\  ( S.2 `  F )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( g `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ran crn 4855    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oRcofr 6544    ^m cmap 7480   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   RR+crp 11302   [,]cicc 11638   S.1citg1 22450   S.2citg2 22451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456
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