MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswccatn0lsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswccatn0lsw 13226
Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
lswccatn0lsw ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ( lastS ‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . . 4 (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
2 lsw 13204 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
4 ccatlen 13213 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
54oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1))
653adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1))
7 lencl 13179 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
87nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
983ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
10 lennncl 13180 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
11103adant1 1072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
12 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
13 nnz 11276 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐵) ∈ ℕ → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
1512, 14zaddcld 11362 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ)
16 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
17 nnrp 11718 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ ℕ → (#‘𝐵) ∈ ℝ+)
18 ltaddrp 11743 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ+) → (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
1916, 17, 18syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
2012, 15, 193jca 1235 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
219, 11, 20syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
22 fzolb 12345 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) < ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
2321, 22sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
24 fzoend 12425 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
266, 25eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
27 ccatval2 13215 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))))
2826, 27syld3an3 1363 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))))
295oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)))
307nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
31 lencl 13179 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
33 addcl 9897 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℂ)
34 1cnd 9935 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
35 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
3633, 34, 35sub32d 10303 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) − 1))
37 pncan2 10167 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) = (#‘𝐵))
3837oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘𝐴)) − 1) = ((#‘𝐵) − 1))
3936, 38eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
4030, 32, 39syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
4129, 40eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
42413adant3 1074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴)) = ((#‘𝐵) − 1))
4342fveq2d 6107 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
4428, 43eqtrd 2644 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((#‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
453, 44eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
46 lsw 13204 . . . 4 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝐵) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
4746eqcomd 2616 . . 3 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = ( lastS ‘𝐵))
48473ad2ant2 1076 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = ( lastS ‘𝐵))
4945, 48eqtrd 2644 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ( lastS ‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ( lastS ‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  c0 3874   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cmin 10145  cn 10897  cz 11254  +crp 11708  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156
This theorem is referenced by:  lswccats1  13263
  Copyright terms: Public domain W3C validator