Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshw0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw0 13391
 Description: A word cyclically shifted by 0 is the word itself. (Contributed by AV, 16-May-2018.) (Revised by AV, 20-May-2018.) (Revised by AV, 26-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshw0 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)

Proof of Theorem cshw0
StepHypRef Expression
1 0csh0 13390 . . . 4 (∅ cyclShift 0) = ∅
2 oveq1 6556 . . . 4 (∅ = 𝑊 → (∅ cyclShift 0) = (𝑊 cyclShift 0))
3 id 22 . . . 4 (∅ = 𝑊 → ∅ = 𝑊)
41, 2, 33eqtr3a 2668 . . 3 (∅ = 𝑊 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
54a1d 25 . 2 (∅ = 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
6 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
7 cshword 13388 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
86, 7mpan2 703 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)))
10 necom 2835 . . . . . 6 (∅ ≠ 𝑊𝑊 ≠ ∅)
11 lennncl 13180 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
12 nnrp 11718 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
13 0mod 12563 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (0 mod (#‘𝑊)) = 0)
1413opeq1d 4346 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩ = ⟨0, (#‘𝑊)⟩)
1514oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
1613opeq2d 4347 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩ = ⟨0, 0⟩)
1716oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 0⟩))
1815, 17oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℝ+ → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
1911, 12, 183syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
2010, 19sylan2b 491 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨(0 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (0 mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
219, 20eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)))
22 swrdid 13280 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
24 swrd00 13270 . . . . . 6 (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅
2524a1i 11 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, 0⟩) = ∅)
2623, 25oveq12d 6567 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, 0⟩)) = (𝑊 ++ ∅))
27 ccatrid 13223 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
2827adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 ++ ∅) = 𝑊)
2921, 26, 283eqtrd 2648 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ≠ 𝑊) → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
3029expcom 450 . 2 (∅ ≠ 𝑊 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊))
315, 30pm2.61ine 2865 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 0) = 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   cyclShift ccsh 13385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386 This theorem is referenced by:  cshwn  13394  2cshwcshw  13422  scshwfzeqfzo  13423  cshwrepswhash1  15647  clwwisshclww  26335  erclwwlkref  26341  erclwwlknref  26353  crctcshlem4  41023  clwwisshclwws  41235  erclwwlksref  41241  erclwwlksnref  41253
 Copyright terms: Public domain W3C validator