Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswcshw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswcshw 13409
 Description: A cyclically shifted "repeated symbol word". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswcshw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswcshw
StepHypRef Expression
1 0csh0 13390 . . . . 5 (∅ cyclShift 𝐼) = ∅
2 repsw0 13375 . . . . . 6 (𝑆𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅)
32oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (∅ cyclShift 𝐼))
41, 3, 23eqtr4a 2670 . . . 4 (𝑆𝑉 → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
543ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0))
6 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑆 repeatS 0))
76oveq1d 6564 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼))
87, 6eqeq12d 2625 . . 3 (𝑁 = 0 → (((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ ((𝑆 repeatS 0) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 0)))
95, 8syl5ibr 235 . 2 (𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
10 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑆𝑉𝑆𝑉))
11 df-ne 2782 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
12 elnnne0 11183 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
1312simplbi2com 655 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
1411, 13sylbir 224 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ))
15 idd 24 . . . 4 𝑁 = 0 → (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℤ))
1610, 14, 153anim123d 1398 . . 3 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)))
17 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1817anim2i 591 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
19 repsw 13373 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
21 cshword 13388 . . . . 5 (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)))
2220, 21stoic3 1692 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)))
23 repswlen 13374 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2524oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (𝐼 mod 𝑁))
2625, 24opeq12d 4348 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ⟨(𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩ = ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩)
2726oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩))
2825opeq2d 4347 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ⟨0, (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩ = ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)
2928oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩) = ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩))
3027, 29oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)))
31303adant3 1074 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))), (#‘(𝑆 repeatS 𝑁))⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod (#‘(𝑆 repeatS 𝑁)))⟩)) = (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)))
32183adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
33 zmodcl 12552 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3433ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
3517adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3634, 35jca 553 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
37363adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
38 nnre 10904 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3938leidd 10473 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
40393ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁𝑁)
41 repswswrd 13382 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
4232, 37, 40, 41syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) = (𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))))
43 0nn0 11184 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
4434, 43jctil 558 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0))
45443adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0))
46 zre 11258 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
47 nnrp 11718 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
48 modcl 12534 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4946, 47, 48syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
5038adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
51 modlt 12541 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5246, 47, 51syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) < 𝑁)
5349, 50, 52ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
54533adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
55 repswswrd 13382 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩) = (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0)))
5632, 45, 54, 55syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩) = (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0)))
5742, 56oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)) = ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0))))
58 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑆𝑉)
5933nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
6059ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
6160, 50, 52ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
62613adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁)
63343adant1 1072 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
64173ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
65 nn0sub 11220 . . . . . . . 8 (((𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6663, 64, 65syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0))
6762, 66mpbid 221 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0)
6833nn0ge0d 11231 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐼 mod 𝑁))
6968ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐼 mod 𝑁))
70693adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐼 mod 𝑁))
7163, 43jctil 558 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0))
72 nn0sub 11220 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐼 mod 𝑁) ↔ ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0))
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐼 mod 𝑁) ↔ ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0))
7470, 73mpbid 221 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0)
75 repswccat 13383 . . . . . 6 ((𝑆𝑉 ∧ (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐼 mod 𝑁) − 0) ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0))))
7658, 67, 74, 75syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS (𝑁 − (𝐼 mod 𝑁))) ++ (𝑆 repeatS ((𝐼 mod 𝑁) − 0))) = (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0))))
77 nncn 10905 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7933nn0cnd 11230 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
80 0cnd 9912 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℂ)
8178, 79, 80npncand 10295 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = (𝑁 − 0))
8277subid1d 10260 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
8382adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
8481, 83eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = 𝑁)
8584ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = 𝑁)
86853adant1 1072 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0)) = 𝑁)
8786oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑆 repeatS ((𝑁 − (𝐼 mod 𝑁)) + ((𝐼 mod 𝑁) − 0))) = (𝑆 repeatS 𝑁))
8857, 76, 873eqtrd 2648 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨(𝐼 mod 𝑁), 𝑁⟩) ++ ((𝑆 repeatS 𝑁) substr ⟨0, (𝐼 mod 𝑁)⟩)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
8922, 31, 883eqtrd 2648 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
9016, 89syl6 34 . 2 𝑁 = 0 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁)))
919, 90pm2.61i 175 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝑁) cyclShift 𝐼) = (𝑆 repeatS 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   repeatS creps 13153   cyclShift ccsh 13385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386 This theorem is referenced by:  cshwrepswhash1  15647
 Copyright terms: Public domain W3C validator