Theorem nnrp 10992

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	|- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10321	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nngt0 10343	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3		elrp 10985	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 664	1 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756   class class class wbr 4287   RRcr 9273   0cc0 9274   < clt 9410   NNcn 10314   RR+crp 10983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-rp 10984

This theorem is referenced by:  nnrpd  11018  fldivnn0le  11668  zmodcl  11719  zmodfz  11721  modidmul0  11726  zmodid2  11728  addmodid  11740  modifeq2int  11753  modaddmodup  11754  modaddmodlo  11755  nnesq  11980  digit2  11989  digit1  11990  bcrpcl  12076  bcval5  12086  cshw0  12423  cshwmodn  12424  cshwsublen  12425  cshwidxmod  12432  cshwidxm1  12435  cshwidxm  12436  repswcshw  12438  2cshw  12439  cshweqrep  12447  divcnv  13308  supcvg  13310  harmonic  13313  expcnv  13318  rpnnen2lem11  13499  sqr2irr  13523  dvdsval3  13531  moddvds  13534  divalgmod  13602  modgcd  13712  isprm6  13787  isprm5  13790  nnnn0modprm0  13866  pythagtriplem13  13886  fldivp1  13951  prmreclem5  13973  prmreclem6  13974  4sqlem12  14009  modxai  14089  modsubi  14093  odmodnn0  16034  gexdvds  16074  sylow1lem1  16088  gexexlem  16325  znf1o  17959  met1stc  20071  lmnn  20749  bcthlem5  20814  minveclem3  20891  vitalilem4  21066  vitali  21068  ismbf3d  21107  itg2seq  21195  plyeq0lem  21653  elqaalem3  21762  aalioulem6  21778  aaliou  21779  logtayllem  22079  atan1  22298  leibpi  22312  birthdaylem2  22321  dfef2  22339  divsqrsumlem  22348  emcllem1  22364  emcllem2  22365  emcllem3  22366  emcllem4  22367  emcllem6  22369  ppiub  22518  vmalelog  22519  logfacbnd3  22537  logexprlim  22539  bcmono  22591  bclbnd  22594  bposlem1  22598  bposlem7  22604  bposlem8  22605  bposlem9  22606  m1lgs  22676  rplogsumlem1  22708  dchrisumlema  22712  dchrisumlem2  22714  dchrisumlem3  22715  dchrvmasumlem2  22722  dchrvmasumiflem1  22725  dchrisum0lem1b  22739  dchrisum0lem2a  22741  rplogsum  22751  logdivsum  22757  mulog2sumlem2  22759  logsqvma  22766  logsqvma2  22767  log2sumbnd  22768  selberg2lem  22774  logdivbnd  22780  pntrsumo1  22789  pntrsumbnd  22790  pntibndlem1  22813  pntibndlem2  22815  pntibndlem3  22816  pntlemd  22818  pntlema  22820  pntlemb  22821  pntlemr  22826  pntlemj  22827  pntlemf  22829  pntlemo  22831  gxmodid  23717  lnconi  25388  zetacvg  26953  lgam1  27002  circum  27270  faclimlem3  27502  faclim  27503  mblfinlem3  28383  itg2addnclem2  28397  itg2addnclem3  28398  itg2addnc  28399  pellexlem4  29126  pell1qrgaplem  29167  pellqrex  29173  congrep  29269  acongeq  29279  dvdsabsmod0  29288  proot1ex  29522  wallispilem4  29816  wallispi  29818  wallispi2lem1  29819  wallispi2lem2  29820  stirlinglem1  29822  stirlinglem2  29823  stirlinglem3  29824  stirlinglem4  29825  stirlinglem6  29827  stirlinglem7  29828  stirlinglem10  29831  stirlinglem11  29832  stirlinglem13  29834  stirlinglem14  29835  stirlinglem15  29836  stirlingr  29838  fsummmodsndifre  30192  modfsummods  30197  mulmoddvds  30199