Theorem nnrp 11240

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	|- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10550	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nngt0 10572	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3		elrp 11233	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 664	1 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1804   class class class wbr 4437   RRcr 9494   0cc0 9495   < clt 9631   NNcn 10543   RR+crp 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-rp 11232

This theorem is referenced by:  nnrpd  11266  fldivnn0le  11946  zmodcl  11997  zmodfz  11999  modidmul0  12004  zmodid2  12006  addmodid  12018  modifeq2int  12031  modaddmodup  12032  modaddmodlo  12033  nnesq  12272  digit2  12281  digit1  12282  bcrpcl  12368  bcval5  12378  cshw0  12747  cshwmodn  12748  cshwsublen  12749  cshwidxmod  12756  cshwidxm1  12759  cshwidxm  12760  repswcshw  12762  2cshw  12763  cshweqrep  12771  modfsummods  13589  divcnv  13647  supcvg  13649  harmonic  13652  expcnv  13657  rpnnen2lem11  13940  sqrt2irr  13964  dvdsval3  13972  moddvds  13975  mulmoddvds  14026  divalgmod  14046  modgcd  14156  isprm6  14232  isprm5  14235  nnnn0modprm0  14313  pythagtriplem13  14333  fldivp1  14398  prmreclem5  14420  prmreclem6  14421  4sqlem12  14456  modxai  14536  modsubi  14540  odmodnn0  16543  gexdvds  16583  sylow1lem1  16597  gexexlem  16837  znf1o  18568  met1stc  21002  lmnn  21680  bcthlem5  21745  minveclem3  21822  vitalilem4  21998  vitali  22000  ismbf3d  22039  itg2seq  22127  plyeq0lem  22585  elqaalem3  22695  aalioulem6  22711  aaliou  22712  logtayllem  23018  atan1  23237  leibpi  23251  birthdaylem2  23260  dfef2  23278  divsqrtsumlem  23287  emcllem1  23303  emcllem2  23304  emcllem3  23305  emcllem4  23306  emcllem6  23308  ppiub  23457  vmalelog  23458  logfacbnd3  23476  logexprlim  23478  bcmono  23530  bclbnd  23533  bposlem1  23537  bposlem7  23543  bposlem8  23544  bposlem9  23545  m1lgs  23615  rplogsumlem1  23647  dchrisumlema  23651  dchrisumlem2  23653  dchrisumlem3  23654  dchrvmasumlem2  23661  dchrvmasumiflem1  23664  dchrisum0lem1b  23678  dchrisum0lem2a  23680  rplogsum  23690  logdivsum  23696  mulog2sumlem2  23698  logsqvma  23705  logsqvma2  23706  log2sumbnd  23707  selberg2lem  23713  logdivbnd  23719  pntrsumo1  23728  pntrsumbnd  23729  pntibndlem1  23752  pntibndlem2  23754  pntibndlem3  23755  pntlemd  23757  pntlema  23759  pntlemb  23760  pntlemr  23765  pntlemj  23766  pntlemf  23768  pntlemo  23770  gxmodid  25259  lnconi  26930  zetacvg  28535  lgam1  28584  circum  29018  faclimlem3  29146  faclim  29147  mblfinlem3  30029  itg2addnclem2  30043  itg2addnclem3  30044  itg2addnc  30045  pellexlem4  30744  pell1qrgaplem  30785  pellqrex  30791  congrep  30887  acongeq  30897  dvdsabsmod0  30904  proot1ex  31137  hashnzfzclim  31203  wallispilem4  31804  wallispi  31806  wallispi2lem1  31807  wallispi2lem2  31808  stirlinglem1  31810  stirlinglem2  31811  stirlinglem3  31812  stirlinglem4  31813  stirlinglem6  31815  stirlinglem7  31816  stirlinglem10  31819  stirlinglem11  31820  stirlinglem13  31822  stirlinglem14  31823  stirlinglem15  31824  stirlingr  31826  dirkertrigeqlem1  31834  fsummmodsndifre  32301