Theorem nnrp 11192

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	|- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10503	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nngt0 10525	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3		elrp 11185	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 662	1 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1842   class class class wbr 4394   RRcr 9441   0cc0 9442   < clt 9578   NNcn 10496   RR+crp 11183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-rp 11184

This theorem is referenced by:  nnrpd  11220  fldivnn0le  11915  zmodcl  11967  zmodfz  11969  modidmul0OLD  11974  zmodid2  11976  addmodid  11990  modifeq2int  12003  modaddmodup  12004  modaddmodlo  12005  nnesq  12244  digit2  12253  digit1  12254  bcrpcl  12340  bcval5  12350  lswccatn0lsw  12568  cshw0  12728  cshwmodn  12729  cshwsublen  12730  cshwidxmod  12737  cshwidxm1  12740  cshwidxm  12741  repswcshw  12743  2cshw  12744  cshweqrep  12752  modfsummods  13665  divcnv  13723  supcvg  13726  harmonic  13729  expcnv  13734  rpnnen2lem11  14059  sqrt2irr  14083  dvdsval3  14091  moddvds  14094  mulmoddvds  14145  divalgmod  14165  modgcd  14275  isprm6  14351  isprm5  14354  nnnn0modprm0  14432  pythagtriplem13  14452  fldivp1  14517  prmreclem5  14539  prmreclem6  14540  4sqlem12  14575  modxai  14655  modsubi  14659  odmodnn0  16780  gexdvds  16820  sylow1lem1  16834  gexexlem  17074  znf1o  18780  met1stc  21208  lmnn  21886  bcthlem5  21951  minveclem3  22028  vitalilem4  22204  vitali  22206  ismbf3d  22245  itg2seq  22333  plyeq0lem  22791  elqaalem3  22901  aalioulem6  22917  aaliou  22918  logtayllem  23226  atan1  23476  leibpi  23490  birthdaylem2  23500  dfef2  23518  divsqrtsumlem  23527  emcllem1  23543  emcllem2  23544  emcllem3  23545  emcllem4  23546  emcllem6  23548  zetacvg  23562  lgam1  23611  ppiub  23752  vmalelog  23753  logfacbnd3  23771  logexprlim  23773  bcmono  23825  bclbnd  23828  bposlem1  23832  bposlem7  23838  bposlem8  23839  bposlem9  23840  m1lgs  23910  rplogsumlem1  23942  dchrisumlema  23946  dchrisumlem2  23948  dchrisumlem3  23949  dchrvmasumlem2  23956  dchrvmasumiflem1  23959  dchrisum0lem1b  23973  dchrisum0lem2a  23975  rplogsum  23985  logdivsum  23991  mulog2sumlem2  23993  logsqvma  24000  logsqvma2  24001  log2sumbnd  24002  selberg2lem  24008  logdivbnd  24014  pntrsumo1  24023  pntrsumbnd  24024  pntibndlem1  24047  pntibndlem2  24049  pntibndlem3  24050  pntlemd  24052  pntlema  24054  pntlemb  24055  pntlemr  24060  pntlemj  24061  pntlemf  24063  pntlemo  24065  gxmodid  25575  lnconi  27245  circum  29773  bccolsum  29834  faclimlem3  29840  faclim  29841  mblfinlem3  31406  itg2addnclem2  31421  itg2addnclem3  31422  itg2addnc  31423  pellexlem4  35110  pell1qrgaplem  35151  pellqrex  35157  congrep  35253  acongeq  35263  dvdsabsmod0OLD  35271  proot1ex  35506  hashnzfzclim  36056  wallispilem4  37200  wallispi  37202  wallispi2lem1  37203  wallispi2lem2  37204  stirlinglem1  37206  stirlinglem2  37207  stirlinglem3  37208  stirlinglem4  37209  stirlinglem6  37211  stirlinglem7  37212  stirlinglem10  37215  stirlinglem11  37216  stirlinglem13  37218  stirlinglem14  37219  stirlinglem15  37220  stirlingr  37222  dirkertrigeqlem1  37230  perfectALTVlem2  37777  3exp4mod41  37842  41prothprmlem2  37844  fsummmodsndifre  37956  mod0mul  38622  modn0mul  38623  m1modmmod  38624  difmodm1lt  38625  nnlog2ge0lt1  38677  blennnelnn  38687  nnpw2blen  38691  blen1b  38699  blennnt2  38700  blennn0e2  38705  dignn0fr  38712  dignn0ldlem  38713  dignnld  38714  dig2nn1st  38716  dig0  38717