Theorem nnrp 11110

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	|- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10439	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nngt0 10461	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3		elrp 11103	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 664	1 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1758   class class class wbr 4399   RRcr 9391   0cc0 9392   < clt 9528   NNcn 10432   RR+crp 11101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-rp 11102

This theorem is referenced by:  nnrpd  11136  fldivnn0le  11792  zmodcl  11843  zmodfz  11845  modidmul0  11850  zmodid2  11852  addmodid  11864  modifeq2int  11877  modaddmodup  11878  modaddmodlo  11879  nnesq  12104  digit2  12113  digit1  12114  bcrpcl  12200  bcval5  12210  cshw0  12548  cshwmodn  12549  cshwsublen  12550  cshwidxmod  12557  cshwidxm1  12560  cshwidxm  12561  repswcshw  12563  2cshw  12564  cshweqrep  12572  divcnv  13433  supcvg  13435  harmonic  13438  expcnv  13443  rpnnen2lem11  13624  sqr2irr  13648  dvdsval3  13656  moddvds  13659  divalgmod  13727  modgcd  13837  isprm6  13912  isprm5  13915  nnnn0modprm0  13991  pythagtriplem13  14011  fldivp1  14076  prmreclem5  14098  prmreclem6  14099  4sqlem12  14134  modxai  14214  modsubi  14218  odmodnn0  16163  gexdvds  16203  sylow1lem1  16217  gexexlem  16454  znf1o  18108  met1stc  20227  lmnn  20905  bcthlem5  20970  minveclem3  21047  vitalilem4  21223  vitali  21225  ismbf3d  21264  itg2seq  21352  plyeq0lem  21810  elqaalem3  21919  aalioulem6  21935  aaliou  21936  logtayllem  22236  atan1  22455  leibpi  22469  birthdaylem2  22478  dfef2  22496  divsqrsumlem  22505  emcllem1  22521  emcllem2  22522  emcllem3  22523  emcllem4  22524  emcllem6  22526  ppiub  22675  vmalelog  22676  logfacbnd3  22694  logexprlim  22696  bcmono  22748  bclbnd  22751  bposlem1  22755  bposlem7  22761  bposlem8  22762  bposlem9  22763  m1lgs  22833  rplogsumlem1  22865  dchrisumlema  22869  dchrisumlem2  22871  dchrisumlem3  22872  dchrvmasumlem2  22879  dchrvmasumiflem1  22882  dchrisum0lem1b  22896  dchrisum0lem2a  22898  rplogsum  22908  logdivsum  22914  mulog2sumlem2  22916  logsqvma  22923  logsqvma2  22924  log2sumbnd  22925  selberg2lem  22931  logdivbnd  22937  pntrsumo1  22946  pntrsumbnd  22947  pntibndlem1  22970  pntibndlem2  22972  pntibndlem3  22973  pntlemd  22975  pntlema  22977  pntlemb  22978  pntlemr  22983  pntlemj  22984  pntlemf  22986  pntlemo  22988  gxmodid  23917  lnconi  25588  zetacvg  27144  lgam1  27193  circum  27462  faclimlem3  27694  faclim  27695  mblfinlem3  28577  itg2addnclem2  28591  itg2addnclem3  28592  itg2addnc  28593  pellexlem4  29320  pell1qrgaplem  29361  pellqrex  29367  congrep  29463  acongeq  29473  dvdsabsmod0  29482  proot1ex  29716  wallispilem4  30010  wallispi  30012  wallispi2lem1  30013  wallispi2lem2  30014  stirlinglem1  30016  stirlinglem2  30017  stirlinglem3  30018  stirlinglem4  30019  stirlinglem6  30021  stirlinglem7  30022  stirlinglem10  30025  stirlinglem11  30026  stirlinglem13  30028  stirlinglem14  30029  stirlinglem15  30030  stirlingr  30032  fsummmodsndifre  30386  modfsummods  30391  mulmoddvds  30393