Theorem nnrp 10988

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	|- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10317	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nngt0 10339	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3		elrp 10981	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 657	1 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9269   0cc0 9270   < clt 9406   NNcn 10310   RR+crp 10979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-rp 10980

This theorem is referenced by:  nnrpd  11014  fldivnn0le  11660  zmodcl  11711  zmodfz  11713  modidmul0  11718  zmodid2  11720  addmodid  11732  modifeq2int  11745  modaddmodup  11746  modaddmodlo  11747  nnesq  11972  digit2  11981  digit1  11982  bcrpcl  12068  bcval5  12078  cshw0  12415  cshwmodn  12416  cshwsublen  12417  cshwidxmod  12424  cshwidxm1  12427  cshwidxm  12428  repswcshw  12430  2cshw  12431  cshweqrep  12439  divcnv  13299  supcvg  13301  harmonic  13304  expcnv  13309  rpnnen2lem11  13490  sqr2irr  13514  dvdsval3  13522  moddvds  13525  divalgmod  13593  modgcd  13703  isprm6  13778  isprm5  13781  nnnn0modprm0  13857  pythagtriplem13  13877  fldivp1  13942  prmreclem5  13964  prmreclem6  13965  4sqlem12  14000  modxai  14080  modsubi  14084  odmodnn0  16023  gexdvds  16063  sylow1lem1  16077  gexexlem  16314  znf1o  17826  met1stc  19938  lmnn  20616  bcthlem5  20681  minveclem3  20758  vitalilem4  20933  vitali  20935  ismbf3d  20974  itg2seq  21062  plyeq0lem  21563  elqaalem3  21672  aalioulem6  21688  aaliou  21689  logtayllem  21989  atan1  22208  leibpi  22222  birthdaylem2  22231  dfef2  22249  divsqrsumlem  22258  emcllem1  22274  emcllem2  22275  emcllem3  22276  emcllem4  22277  emcllem6  22279  ppiub  22428  vmalelog  22429  logfacbnd3  22447  logexprlim  22449  bcmono  22501  bclbnd  22504  bposlem1  22508  bposlem7  22514  bposlem8  22515  bposlem9  22516  m1lgs  22586  rplogsumlem1  22618  dchrisumlema  22622  dchrisumlem2  22624  dchrisumlem3  22625  dchrvmasumlem2  22632  dchrvmasumiflem1  22635  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem2a  22651  rplogsum  22661  logdivsum  22667  mulog2sumlem2  22669  logsqvma  22676  logsqvma2  22677  log2sumbnd  22678  selberg2lem  22684  logdivbnd  22690  pntrsumo1  22699  pntrsumbnd  22700  pntibndlem1  22723  pntibndlem2  22725  pntibndlem3  22726  pntlemd  22728  pntlema  22730  pntlemb  22731  pntlemr  22736  pntlemj  22737  pntlemf  22739  pntlemo  22741  gxmodid  23589  lnconi  25260  zetacvg  26849  lgam1  26898  circum  27166  faclimlem3  27398  faclim  27399  mblfinlem3  28274  itg2addnclem2  28288  itg2addnclem3  28289  itg2addnc  28290  pellexlem4  29018  pell1qrgaplem  29059  pellqrex  29065  congrep  29161  acongeq  29171  dvdsabsmod0  29180  proot1ex  29414  wallispilem4  29709  wallispi  29711  wallispi2lem1  29712  wallispi2lem2  29713  stirlinglem1  29715  stirlinglem2  29716  stirlinglem3  29717  stirlinglem4  29718  stirlinglem6  29720  stirlinglem7  29721  stirlinglem10  29724  stirlinglem11  29725  stirlinglem13  29727  stirlinglem14  29728  stirlinglem15  29729  stirlingr  29731  fsummmodsndifre  30085  modfsummods  30090  mulmoddvds  30092