Theorem nnrp 10577

Description: A natural number is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	|- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9963	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nngt0 9985	. 2 |- ( A e. NN -> 0 < A )
3		elrp 10570	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 646	1 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945   0cc0 8946   < clt 9076   NNcn 9956   RR+crp 10568

This theorem is referenced by:  nnrpd  10603  zmodcl  11221  zmodfz  11223  nnesq  11458  digit2  11467  digit1  11468  bcrpcl  11554  bcval5  11564  divcnv  12588  supcvg  12590  harmonic  12593  expcnv  12598  rpnnen2lem11  12779  sqr2irr  12803  dvdsval3  12811  moddvds  12814  divalgmod  12881  modgcd  12991  isprm6  13064  isprm5  13067  pythagtriplem13  13156  fldivp1  13221  prmreclem5  13243  prmreclem6  13244  4sqlem12  13279  modxai  13359  modsubi  13363  odmodnn0  15133  gexdvds  15173  sylow1lem1  15187  gexexlem  15422  znf1o  16787  met1stc  18504  lmnn  19169  bcthlem5  19234  minveclem3  19283  vitalilem4  19456  vitali  19458  ismbf3d  19499  itg2seq  19587  plyeq0lem  20082  elqaalem3  20191  aalioulem6  20207  aaliou  20208  logtayllem  20503  atan1  20721  leibpi  20735  birthdaylem2  20744  dfef2  20762  divsqrsumlem  20771  emcllem1  20787  emcllem2  20788  emcllem3  20789  emcllem4  20790  emcllem6  20792  ppiub  20941  vmalelog  20942  logfacbnd3  20960  logexprlim  20962  bcmono  21014  bclbnd  21017  bposlem1  21021  bposlem7  21027  bposlem8  21028  bposlem9  21029  m1lgs  21099  rplogsumlem1  21131  dchrisumlema  21135  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem2a  21164  rplogsum  21174  logdivsum  21180  mulog2sumlem2  21182  logsqvma  21189  logsqvma2  21190  log2sumbnd  21191  selberg2lem  21197  logdivbnd  21203  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  pntibndlem1  21236  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntlemd  21241  pntlema  21243  pntlemb  21244  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemo  21254  gxmodid  21820  lnconi  23489  zetacvg  24752  lgam1  24801  circum  25064  zmodid2  25067  faclimlem3  25312  faclim  25313  mblfinlem2  26144  itg2addnclem2  26156  itg2addnclem3  26157  itg2addnc  26158  pellexlem4  26785  pell1qrgaplem  26826  pellqrex  26832  congrep  26928  acongeq  26938  dvdsabsmod0  26947  proot1ex  27388  wallispilem4  27684  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  stirlinglem1  27690  stirlinglem2  27691  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700  stirlinglem13  27702  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-rp 10569