MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrp Structured version   Unicode version

Theorem nnrp 11229
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrp  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrp
StepHypRef Expression
1 nnre 10543 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nngt0 10565 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
3 elrp 11222 . 2  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9491   0cc0 9492    < clt 9628   NNcn 10536   RR+crp 11220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-rp 11221
This theorem is referenced by:  nnrpd  11255  fldivnn0le  11932  zmodcl  11983  zmodfz  11985  modidmul0  11990  zmodid2  11992  addmodid  12004  modifeq2int  12017  modaddmodup  12018  modaddmodlo  12019  nnesq  12258  digit2  12267  digit1  12268  bcrpcl  12354  bcval5  12364  cshw0  12728  cshwmodn  12729  cshwsublen  12730  cshwidxmod  12737  cshwidxm1  12740  cshwidxm  12741  repswcshw  12743  2cshw  12744  cshweqrep  12752  modfsummods  13570  divcnv  13628  supcvg  13630  harmonic  13633  expcnv  13638  rpnnen2lem11  13819  sqrt2irr  13843  dvdsval3  13851  moddvds  13854  mulmoddvds  13903  divalgmod  13923  modgcd  14033  isprm6  14109  isprm5  14112  nnnn0modprm0  14190  pythagtriplem13  14210  fldivp1  14275  prmreclem5  14297  prmreclem6  14298  4sqlem12  14333  modxai  14413  modsubi  14417  odmodnn0  16370  gexdvds  16410  sylow1lem1  16424  gexexlem  16661  znf1o  18385  met1stc  20787  lmnn  21465  bcthlem5  21530  minveclem3  21607  vitalilem4  21783  vitali  21785  ismbf3d  21824  itg2seq  21912  plyeq0lem  22370  elqaalem3  22479  aalioulem6  22495  aaliou  22496  logtayllem  22796  atan1  23015  leibpi  23029  birthdaylem2  23038  dfef2  23056  divsqrtsumlem  23065  emcllem1  23081  emcllem2  23082  emcllem3  23083  emcllem4  23084  emcllem6  23086  ppiub  23235  vmalelog  23236  logfacbnd3  23254  logexprlim  23256  bcmono  23308  bclbnd  23311  bposlem1  23315  bposlem7  23321  bposlem8  23322  bposlem9  23323  m1lgs  23393  rplogsumlem1  23425  dchrisumlema  23429  dchrisumlem2  23431  dchrisumlem3  23432  dchrvmasumlem2  23439  dchrvmasumiflem1  23442  dchrisum0lem1b  23456  dchrisum0lem2a  23458  rplogsum  23468  logdivsum  23474  mulog2sumlem2  23476  logsqvma  23483  logsqvma2  23484  log2sumbnd  23485  selberg2lem  23491  logdivbnd  23497  pntrsumo1  23506  pntrsumbnd  23507  pntibndlem1  23530  pntibndlem2  23532  pntibndlem3  23533  pntlemd  23535  pntlema  23537  pntlemb  23538  pntlemr  23543  pntlemj  23544  pntlemf  23546  pntlemo  23548  gxmodid  24985  lnconi  26656  zetacvg  28225  lgam1  28274  circum  28543  faclimlem3  28775  faclim  28776  mblfinlem3  29658  itg2addnclem2  29672  itg2addnclem3  29673  itg2addnc  29674  pellexlem4  30400  pell1qrgaplem  30441  pellqrex  30447  congrep  30543  acongeq  30553  dvdsabsmod0  30560  proot1ex  30794  hashnzfzclim  30855  wallispilem4  31396  wallispi  31398  wallispi2lem1  31399  wallispi2lem2  31400  stirlinglem1  31402  stirlinglem2  31403  stirlinglem3  31404  stirlinglem4  31405  stirlinglem6  31407  stirlinglem7  31408  stirlinglem10  31411  stirlinglem11  31412  stirlinglem13  31414  stirlinglem14  31415  stirlinglem15  31416  stirlingr  31418  dirkertrigeqlem1  31426  fsummmodsndifre  31842
  Copyright terms: Public domain W3C validator