Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimageiingt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimageiingt 39607
Description: A preimage of a left-closed, unbounded above interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbounded above intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimageiingt.x 𝑥𝜑
preimageiingt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimageiingt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimageiingt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimageiingt
StepHypRef Expression
1 preimageiingt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimageiingt.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
87rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
98ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
103rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1110ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12 preimageiingt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
15 rpreccl 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
184, 17ltsubrpd 11780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
1918ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
20 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶𝐵)
219, 11, 13, 19, 20xrltletrd 11868 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
222, 21jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23 rabid 3095 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
2422, 23sylibr 223 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2524ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
26 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4461 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2925, 28sylibr 223 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
3029ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
3130ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})))
321, 31ralrimi 2940 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
33 nfcv 2751 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3099 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
3533, 34nfiin 4485 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
3635rabssf 38334 . . 3 ({𝑥𝐴𝐶𝐵} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
3732, 36sylibr 223 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
38 nnn0 38536 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
39 iinrab 4518 . . . . 5 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
4038, 39ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
4140a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
428ad4ant13 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4312ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
4542, 43, 44xrltled 38427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
4645ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
4746ralimdva 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
4847imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
49 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
50 nfra1 2925 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵
5149, 50nfan 1816 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
523ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5312adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5451, 52, 53xrralrecnnge 38554 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
5548, 54mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶𝐵)
5655ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
5756ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵)))
581, 57ralrimi 2940 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
59 ss2rab 3641 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
6058, 59sylibr 223 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵})
6141, 60eqsstrd 3602 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵})
6237, 61eqssd 3585 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wnf 1699  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874   ciin 4456   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  1c1 9816  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455
This theorem is referenced by:  salpreimagtge  39611
  Copyright terms: Public domain W3C validator