Theorem ndvdsadd 14972

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdsadd	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		nnre 10904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3		posdif 10400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
5	4	pm5.32i 667	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
6		nnz 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7		nnz 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zsubcl 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	syl2an 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
10		elnnz 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
11	10	biimpri 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
12	9, 11	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
13	5, 12	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
14	13	anasss 677	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
15		nngt0 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16		ltsubpos 10399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
17	1, 2, 16	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
18	17	biimpd 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
19	18	expcom 450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)))
20	15, 19	mpdi 44	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
21	20	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
22	21	adantrr 749	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
23	14, 22	jca 553	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
24	23	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
25		ndvdssub 14971	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
26	24, 25	syld3an3 1363	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
27		zaddcl 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
28	7, 27	sylan2 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29		dvdssubr 14865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
30	6, 28, 29	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
31	30	an12s 839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32	31	3impb 1252	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33		zcn 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34		nncn 10905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35		nncn 10905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36		subsub3 10192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
38	37	breq2d 4595	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
39	32, 38	bitr4d 270	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
40	39	notbid 307	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
41	40	3adant3r 1315	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
42	26, 41	sylibrd 248	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  ndvdsp1  14973  ndvdsi  14974