MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd Structured version   Unicode version

Theorem ndvdsadd 13918
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer  D greater than  1 divides  N, then it does not divide any of  N  +  1,  N  +  2...  N  +  ( D  -  1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
2 nnre 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
3 posdif 10041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( K  <  D  <->  0  <  ( D  -  K ) ) )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( K  <  D  <->  0  <  ( D  -  K ) ) )
54pm5.32i 637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  K  <  D
)  <->  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  0  <  ( D  -  K
) ) )
6 nnz 10882 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  ZZ )
7 nnz 10882 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
8 zsubcl 10901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( D  -  K
)  e.  ZZ )
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  -  K
)  e.  ZZ )
10 elnnz 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  -  K )  e.  NN  <->  ( ( D  -  K )  e.  ZZ  /\  0  < 
( D  -  K
) ) )
1110biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( D  -  K ) )  -> 
( D  -  K
)  e.  NN )
129, 11sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  0  <  ( D  -  K )
)  ->  ( D  -  K )  e.  NN )
135, 12sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  K  <  D
)  ->  ( D  -  K )  e.  NN )
1413anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  ->  ( D  -  K )  e.  NN )
15 nngt0 10561 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
16 ltsubpos 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( 0  <  K  <->  ( D  -  K )  <  D ) )
171, 2, 16syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( 0  <  K  <->  ( D  -  K )  <  D ) )
1817biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( 0  <  K  ->  ( D  -  K
)  <  D )
)
1918expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  NN  ->  ( K  e.  NN  ->  ( 0  <  K  -> 
( D  -  K
)  <  D )
) )
2015, 19mpdi 42 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  NN  ->  ( K  e.  NN  ->  ( D  -  K )  <  D ) )
2120imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  -  K
)  <  D )
2221adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  ->  ( D  -  K )  <  D
)
2314, 22jca 532 . . . 4  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  ->  ( ( D  -  K )  e.  NN  /\  ( D  -  K )  < 
D ) )
24233adant1 1014 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( ( D  -  K )  e.  NN  /\  ( D  -  K
)  <  D )
)
25 ndvdssub 13917 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  (
( D  -  K
)  e.  NN  /\  ( D  -  K
)  <  D )
)  ->  ( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K )
) ) )
2624, 25syld3an3 1273 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K ) ) ) )
27 zaddcl 10899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
287, 27sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
29 dvdssubr 13879 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  +  K
)  <->  D  ||  ( ( N  +  K )  -  D ) ) )
306, 28, 29syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN ) )  ->  ( D  ||  ( N  +  K
)  <->  D  ||  ( ( N  +  K )  -  D ) ) )
3130an12s 799 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN ) )  ->  ( D  ||  ( N  +  K
)  <->  D  ||  ( ( N  +  K )  -  D ) ) )
32313impb 1192 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  ||  ( N  +  K )  <->  D  ||  (
( N  +  K
)  -  D ) ) )
33 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
34 nncn 10540 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
35 nncn 10540 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
36 subsub3 9847 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( N  -  ( D  -  K ) )  =  ( ( N  +  K )  -  D
) )
3733, 34, 35, 36syl3an 1270 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  ( D  -  K ) )  =  ( ( N  +  K )  -  D
) )
3837breq2d 4459 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  ||  ( N  -  ( D  -  K
) )  <->  D  ||  (
( N  +  K
)  -  D ) ) )
3932, 38bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  ||  ( N  +  K )  <->  D  ||  ( N  -  ( D  -  K ) ) ) )
4039notbid 294 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( -.  D  ||  ( N  +  K )  <->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K )
) ) )
41403adant3r 1225 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( -.  D  ||  ( N  +  K
)  <->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K ) ) ) )
4226, 41sylibrd 234 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    < clt 9624    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZcz 10860    || cdivides 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-dvds 13841
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  13919  ndvdsi  13920
  Copyright terms: Public domain W3C validator