MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsqpwdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsqpwdvds 15429
Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
difsqpwdvds (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11179 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
2 nn0cn 11179 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ)
31, 2anim12i 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
433adant3 1074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5 subsq 12834 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
76adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
87eqeq2d 2620 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
9 simprl 790 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
11 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
1210, 11anim12i 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13 zaddcl 11294 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15143adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 1red 9934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2117, 18, 20ltaddsub2d 10507 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴𝐵)))
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2320, 22, 183jca 1235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24 difgtsumgt 11223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2621, 25sylbid 229 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27263impia 1253 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28 eluz2b1 11635 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
2915, 27, 28sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2))
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2))
31 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
329, 30, 313jca 1235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
3332adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34 zsubcl 11296 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
3513, 34jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
37363adant3 1074 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
38 dvdsmul1 14841 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
4039ad2antrr 758 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
41 breq2 4587 . . . . . . 7 ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
4241adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
4340, 42mpbird 246 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷))
44 dvdsprmpweqnn 15427 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚)))
4533, 43, 44sylc 63 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚))
46 prmz 15227 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47 iddvdsexp 14843 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑚))
4846, 47sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑚))
49 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶𝑚)))
5048, 49syl5ibrcom 236 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5150rexlimdva 3013 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5251adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5352adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5453adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
5512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
56553adant3 1074 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
5721biimp3a 1424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴𝐵))
58 eluz2b1 11635 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴𝐵)))
5956, 57, 58sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2))
619, 60, 313jca 1235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
6261adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63 dvdsmul2 14842 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
6437, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
6564ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
66 breq2 4587 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
6766adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))))
6865, 67mpbird 246 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷))
69 dvdsprmpweqnn 15427 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛)))
7062, 68, 69sylc 63 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛))
71 iddvdsexp 14843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑛))
7246, 71sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶𝑛))
73 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶𝑛)))
7472, 73syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7574rexlimdva 3013 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7675adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7776adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7877adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)))
7946adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
8037, 79anim12ci 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ)))
81 3anass 1035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ)))
8280, 81sylibr 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ))
83 dvds2sub 14854 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵))))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵))))
8513ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
8623ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8785, 86, 86pnncand 10310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
8822timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
8988eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90893ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
9187, 90eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐵))
9291breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9392biimpd 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9584, 94syld 46 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
9695expcomd 453 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9878, 97syld 46 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝐵) = (𝐶𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
9970, 98mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
10054, 99syld 46 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
10145, 100mpd 15 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102101ex 449 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
1038, 102sylbid 229 1 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cexp 12722  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380
This theorem is referenced by:  lighneallem2  40061
  Copyright terms: Public domain W3C validator