Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | repsw 13373 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) |
2 | | nn0z 11277 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℤ) |
3 | | nn0z 11277 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
4 | 2, 3 | anim12i 588 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
5 | 1, 4 | anim12i 588 |
. . . . 5
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) |
6 | | 3anass 1035 |
. . . . 5
⊢ (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) |
7 | 5, 6 | sylibr 223 |
. . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
8 | 7 | 3adant3 1074 |
. . 3
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
9 | | swrdval 13269 |
. . 3
⊢ (((𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. 2
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅)) |
11 | | repsf 13371 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉) |
12 | 11 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . 5
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉) |
13 | | fdm 5964 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 repeatS 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝑉 → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → dom (𝑆 repeatS 𝐿) = (0..^𝐿)) |
15 | 14 | sseq2d 3596 |
. . 3
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿))) |
16 | 15 | ifbid 4058 |
. 2
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ dom (𝑆 repeatS 𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅)) |
17 | | fzon 12358 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅)) |
18 | 4, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅)) |
19 | 18 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅)) |
20 | 19 | biimpac 502 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) = ∅) |
21 | | 0ss 3924 |
. . . . . . . 8
⊢ ∅
⊆ (0..^𝐿) |
22 | 20, 21 | syl6eqss 3618 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿)) |
23 | | iftrue 4042 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)))) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)))) |
25 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
26 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
27 | 25, 26 | anim12ci 589 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) |
28 | 27 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) |
29 | | suble0 10421 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀)) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀)) |
31 | 30 | biimparc 503 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 0) |
32 | | 0z 11265 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℤ |
33 | | zsubcl 11296 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) |
34 | 3, 2, 33 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) |
35 | 34 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) |
36 | 35 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) |
37 | | fzon 12358 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℤ ∧ (𝑁
− 𝑀) ∈ ℤ)
→ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
38 | 32, 36, 37 | sylancr 694 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 0 ↔ (0..^(𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
39 | 31, 38 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (0..^(𝑁 − 𝑀)) = ∅) |
40 | 39 | mpteq1d 4666 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)))) |
41 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑀) = (𝑁 − 𝑁)) |
42 | 41 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑁))) |
43 | | nn0cn 11179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℂ) |
44 | 43 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ) |
45 | 44 | subidd 10259 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑁 − 𝑁) = 0) |
46 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 − 𝑁) = 0) |
47 | 46 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑁)) = (𝑆 repeatS 0)) |
48 | | repsw0 13375 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 0) = ∅) |
49 | 48 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑆 repeatS 0) = ∅) |
50 | 47, 49 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑁)) = ∅) |
51 | 42, 50 | sylan9eqr 2666 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅) |
52 | 51 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
53 | 52 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑀 = 𝑁 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
54 | 53 | com12 32 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 = 𝑁 → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
55 | | elnn0z 11267 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))) |
56 | | subge0 10420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)) |
57 | 26, 25, 56 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)) |
58 | 25, 26 | anim12i 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) |
59 | | letri3 10002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))) |
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))) |
61 | 60 | biimprd 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 = 𝑁)) |
62 | 61 | expd 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 = 𝑁))) |
63 | 57, 62 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 = 𝑁))) |
64 | 63 | com23 84 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) → 𝑀 = 𝑁))) |
65 | 64 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝑀 → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) → 𝑀 = 𝑁))) |
66 | 65 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) → 𝑀 = 𝑁)) |
67 | 66 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (0 ≤
(𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁)) |
68 | 67 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁)) |
69 | 55, 68 | sylbi 206 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → 𝑀 = 𝑁)) |
70 | 69 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → 𝑀 = 𝑁)) |
71 | 70 | con3d 147 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → ¬ (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0)) |
72 | 71 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)))) → ¬ (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0) |
73 | | df-nel 2783 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬
(𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0) |
74 | 72, 73 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)))) → (𝑁 − 𝑀) ∉
ℕ0) |
75 | | repsundef 13369 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∉ ℕ0 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝑀 = 𝑁 ∧ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)))) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅) |
77 | 76 | ex 449 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝑀 = 𝑁 → ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
78 | 54, 77 | pm2.61i 175 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅) |
79 | | mpt0 5934 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = ∅ |
80 | 78, 79 | syl6reqr 2663 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
81 | 24, 40, 80 | 3eqtrd 2648 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0))) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
82 | 81 | expcom 450 |
. . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)))) |
83 | 82 | 3adant3 1074 |
. . 3
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 ≤ 𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)))) |
84 | | ltnle 9996 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀)) |
85 | 58, 84 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀)) |
86 | 85 | bicomd 212 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 < 𝑁)) |
87 | 86 | 3ad2ant2 1076 |
. . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ↔ 𝑀 < 𝑁)) |
88 | 23 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)))) |
89 | 4 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
90 | 89 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
91 | | 0zd 11266 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℤ) |
92 | | nn0z 11277 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℤ) |
93 | 91, 92 | anim12i 588 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0
∈ ℤ ∧ 𝐿
∈ ℤ)) |
94 | 93 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈
ℤ)) |
95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈
ℤ)) |
96 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁) |
97 | | ssfzo12bi 12429 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈
ℤ ∧ 𝐿 ∈
ℤ) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿))) |
98 | 90, 95, 96, 97 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿))) |
99 | | simpl1l 1105 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑆 ∈ 𝑉) |
100 | 99 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑆 ∈ 𝑉) |
101 | | simpl1r 1106 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈
ℕ0) |
102 | 101 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐿 ∈
ℕ0) |
103 | | elfzonn0 12380 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0) |
104 | | nn0addcl 11205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0) |
105 | 104 | expcom 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑥 ∈
ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
106 | 105 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
107 | 106 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
108 | 107 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
109 | 103, 108 | syl5com 31 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0)) |
110 | 109 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈
ℕ0) |
111 | 92 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈
ℤ) |
112 | 111 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ) |
113 | 112 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ) |
114 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℝ) |
115 | 114 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈
ℝ) |
116 | 115, 58 | anim12ci 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
117 | | df-3an 1033 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) ↔ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈
ℝ)) |
118 | 116, 117 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
119 | | ltletr 10008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝑀 < 𝐿)) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝑀 < 𝐿)) |
121 | | elnn0z 11267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
↔ (𝑀 ∈ ℤ
∧ 0 ≤ 𝑀)) |
122 | | 0red 9920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 0
∈ ℝ) |
123 | | zre 11258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℝ) |
124 | 123 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈
ℝ) |
125 | 115 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈
ℝ) |
126 | | lelttr 10007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑀
∈ ℝ ∧ 𝐿
∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿)) |
127 | 122, 124,
125, 126 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((0
≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿)) |
128 | 127 | expd 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤
𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))) |
129 | 128 | impancom 455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤
𝑀) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))) |
130 | 121, 129 | sylbi 206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))) |
131 | 130 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿))) |
132 | 131 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑀 < 𝐿 → 0 < 𝐿)) |
133 | 120, 132 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑀 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 0 < 𝐿)) |
134 | 133 | expcomd 453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿))) |
135 | 134 | 3impia 1253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝐿)) |
136 | 135 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝐿) |
137 | | elnnz 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝐿)) |
138 | 113, 136,
137 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ) |
139 | 138 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ) |
140 | | elfzo0 12376 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) |
141 | | nn0readdcl 11234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℕ0) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ) |
142 | 141 | expcom 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑥 ∈
ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)) |
143 | 142 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) → (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ)) |
144 | 143 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ (𝑥 + 𝑀) ∈
ℝ) |
145 | 26 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
146 | 145 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
147 | 146 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
148 | 114 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ 𝐿 ∈
ℝ) |
149 | 144, 147,
148 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ)) |
150 | 149 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ ((𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
→ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ))) |
151 | 150 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))) |
152 | 151 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
153 | 152 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
154 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ 𝑥 ∈
ℝ) |
155 | 154 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ 𝑥 ∈
ℝ) |
156 | 25 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
157 | 156 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
158 | 155, 157,
147 | ltaddsubd 10506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 ↔ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) |
159 | | idd 24 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)) |
160 | 159 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ (𝑁 ≤ 𝐿 → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))) |
161 | 160 | com23 84 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))) |
162 | 158, 161 | sylbird 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝐿 ∈
ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
→ (𝑥 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))) |
163 | 162 | impancom 455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁))) |
164 | 163 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝑁)) |
165 | 164 | impac 649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
166 | | ltletr 10008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑥 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
167 | 153, 165,
166 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀))) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿) |
168 | 167 | exp31 628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))) |
169 | 168 | com23 84 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0
∧ (𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿))) |
170 | 169 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ ((𝑀 ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))) |
171 | 170 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝐿 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)))) |
172 | 171 | 3imp 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
173 | 172 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
174 | 173 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
175 | 174 | 3adant2 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0
∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑁 − 𝑀)) → (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
176 | 140, 175 | sylbi 206 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
177 | 176 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) < 𝐿) |
178 | | elfzo0 12376 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿) ↔ ((𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑀) < 𝐿)) |
179 | 110, 139,
177, 178 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿)) |
180 | | repswsymb 13372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆) |
181 | 100, 102,
179, 180 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑆) |
182 | 181 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ 𝑆)) |
183 | 34 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) |
184 | 183 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) |
185 | 58 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) |
186 | | ltle 10005 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁)) |
187 | 185, 186 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁)) |
188 | 27 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) |
189 | 188, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁)) |
190 | 187, 189 | sylibrd 248 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))) |
191 | 190 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑀)) |
192 | 184, 191,
55 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0) |
193 | 99, 192 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0)) |
194 | 193 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0)) |
195 | | reps 13368 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ 𝑆)) |
196 | 195 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
197 | 194, 196 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ 𝑆) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
198 | 182, 197 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
199 | 198 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)))) |
200 | 98, 199 | sylbid 229 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)))) |
201 | 200 | impcom 445 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
202 | 88, 201 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
203 | | iffalse 4045 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
(𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅) |
204 | 203 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((¬
(𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = ∅) |
205 | 98 | notbid 307 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ↔ ¬ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿))) |
206 | | ianor 508 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (¬ (0
≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
207 | | nn0ge0 11195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝑀) |
208 | | pm2.24 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 ≤
𝑀 → (¬ 0 ≤
𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
209 | 207, 208 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (¬ 0 ≤ 𝑀
→ (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
210 | 209 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
211 | 210 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
212 | 211 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 0 ≤ 𝑀 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
213 | 212 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬ 0
≤ 𝑀 → ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
214 | | pm2.24 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ≤ 𝐿 → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
215 | 214 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
216 | 215 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ 𝑁 ≤ 𝐿 → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
217 | 216 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
𝑁 ≤ 𝐿 → ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
218 | 213, 217 | jaoi 393 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬ 0
≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
219 | 206, 218 | sylbi 206 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (¬ (0
≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
220 | 219 | com12 32 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
221 | 205, 220 | sylbid 229 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (¬ (𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅)) |
222 | 221 | impcom 445 |
. . . . . . 7
⊢ ((¬
(𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)) = ∅) |
223 | 204, 222 | eqtr4d 2647 |
. . . . . 6
⊢ ((¬
(𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿) ∧ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁)) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
224 | 202, 223 | pm2.61ian 827 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) ∧ 𝑀 < 𝑁) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
225 | 224 | ex 449 |
. . . 4
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑀 < 𝑁 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)))) |
226 | 87, 225 | sylbid 229 |
. . 3
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀)))) |
227 | 83, 226 | pm2.61d 169 |
. 2
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → if((𝑀..^𝑁) ⊆ (0..^𝐿), (𝑥 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↦ ((𝑆 repeatS 𝐿)‘(𝑥 + 𝑀))), ∅) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |
228 | 10, 16, 227 | 3eqtrd 2648 |
1
⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝑆 repeatS 𝐿) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = (𝑆 repeatS (𝑁 − 𝑀))) |