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Theorem cshwshashlem2 14680
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, V    i, W    ph, i    i, K

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6239 . . . . . . . 8  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  L ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
21eqcomd 2408 . . . . . . 7  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
32ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
54simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e. Word  V )
65adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  ->  W  e. Word  V )
76adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  ->  W  e. Word  V )
87adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  W  e. Word  V
)
9 elfzofz 11785 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1093ad2ant2 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1110adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
12 elfzofz 11785 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
13 fznn0sub2 11751 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
15143ad2ant1 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1615adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( # `  W )  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
17 elfzo0 11806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )
18 elfzoelz 11770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ZZ )
19 zre 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  K  e.  RR )
21 nnre 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
22 nn0re 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
23 resubcl 9837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2421, 22, 23syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2524adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  RR )
2620, 25readdcld 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR )
2721adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
2827adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
2926, 28jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
3029ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) ) )
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3231com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
33323adant3 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3417, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3534imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) )
36353adant3 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
37 fzonmapblen 11811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) )
38 ltle 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W )  ->  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  <_ 
( # `  W ) ) )
3936, 37, 38sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
4039adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
41 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
42 elfzelz 11657 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
43423ad2ant1 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
4443adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  ZZ )
45 elfzelz 11657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
46453ad2ant2 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
4746adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
48 2cshw 12742 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  (
( # `  W )  -  L ) ) ) )
508, 11, 16, 40, 49syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
51123ad2ant1 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
52 elfzelz 11657 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
53 2cshwid 12743 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
5452, 53sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
557, 51, 54syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  W )
563, 50, 553eqtr3d 2449 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =  W )
57 simplrl 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ph )
58 simplrr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) )
59 3simpa 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
6017, 59sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN ) )
61 nnz 10845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
62 nn0z 10846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
63 zsubcl 10865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6564anim2i 567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
6665ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
67 zaddcl 10863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6960, 18, 68syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
70693adant3 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
71 elfzo0 11806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) ) )
72 elnn0z 10836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
7319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  RR )
74243adant3 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  RR )
7574adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
76 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <_  K )
77 posdif 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7822, 21, 77syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7978biimp3a 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) )
8079adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( ( # `
 W )  -  L ) )
8173, 75, 76, 80addgegt0d 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
8281ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8372, 82sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
84833ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8571, 84sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN  /\  L  < 
( # `  W ) )  ->  0  <  ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) ) ) )
8685com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8717, 86sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
8887imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) ) )
89883adant3 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
90 elnnz 10833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  NN  <->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
9170, 89, 90sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  NN )
9217simp2bi 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
93923ad2ant1 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
94 elfzo1 11814 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) ) )
9591, 93, 37, 94syl3anbrc 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
9695adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
974cshwshashlem1 14679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 )  /\  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9857, 58, 96, 97syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9956, 98pm2.21ddne 2715 . . . 4  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) )
10099ex 432 . . 3  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
101100ex 432 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
102 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )
) )
103102a1d 25 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
104101, 103pm2.61ine 2714 1  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   E.wrex 2752   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443    < clt 9576    <_ cle 9577    - cmin 9759   NNcn 10494   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   ...cfz 11641  ..^cfzo 11765   #chash 12357  Word cword 12488   cyclShift ccsh 12720   Primecprime 14316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-word 12496  df-concat 12498  df-substr 12500  df-reps 12503  df-csh 12721  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-dvds 14086  df-gcd 14244  df-prm 14317  df-phi 14395
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