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Theorem cshwshashlem2 15060
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, V    i, W    ph, i    i, K

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  L ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
21eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
32ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
54simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e. Word  V )
65adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  ->  W  e. Word  V )
76adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  ->  W  e. Word  V )
87adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  W  e. Word  V
)
9 elfzofz 11937 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1093ad2ant2 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1110adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
12 elfzofz 11937 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
13 fznn0sub2 11899 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
15143ad2ant1 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1615adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( # `  W )  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
17 elfzo0 11958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )
18 elfzoelz 11922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ZZ )
19 zre 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  K  e.  RR )
21 nnre 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
22 nn0re 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
23 resubcl 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2421, 22, 23syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2524adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  RR )
2620, 25readdcld 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR )
2721adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
2827adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
2926, 28jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
3029ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) ) )
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3231com12 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
33323adant3 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3417, 33sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3534imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) )
36353adant3 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
37 fzonmapblen 11963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) )
38 ltle 9724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W )  ->  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  <_ 
( # `  W ) ) )
3936, 37, 38sylc 63 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
4039adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
41 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
42 elfzelz 11802 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
43423ad2ant1 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
4443adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  ZZ )
45 elfzelz 11802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
46453ad2ant2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
4746adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
48 2cshw 12908 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  (
( # `  W )  -  L ) ) ) )
508, 11, 16, 40, 49syl13anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
51123ad2ant1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
52 elfzelz 11802 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
53 2cshwid 12909 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
5452, 53sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
557, 51, 54syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  W )
563, 50, 553eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =  W )
57 simplrl 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ph )
58 simplrr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) )
59 3simpa 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
6017, 59sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN ) )
61 nnz 10961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
62 nn0z 10962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
63 zsubcl 10981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6564anim2i 572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
6665ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
67 zaddcl 10979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6960, 18, 68syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
70693adant3 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
71 elfzo0 11958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) ) )
72 elnn0z 10952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
7319ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  RR )
74243adant3 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  RR )
7574adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
76 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <_  K )
77 posdif 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7822, 21, 77syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7978biimp3a 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( ( # `
 W )  -  L ) )
8173, 75, 76, 80addgegt0d 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
8281ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8372, 82sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
84833ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8571, 84sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN  /\  L  < 
( # `  W ) )  ->  0  <  ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) ) ) )
8685com12 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8717, 86sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
8887imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) ) )
89883adant3 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
90 elnnz 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  NN  <->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
9170, 89, 90sylanbrc 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  NN )
9217simp2bi 1022 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
93923ad2ant1 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
94 elfzo1 11966 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) ) )
9591, 93, 37, 94syl3anbrc 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
9695adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
974cshwshashlem1 15059 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 )  /\  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9857, 58, 96, 97syl3anc 1265 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9956, 98pm2.21ddne 2739 . . . 4  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) )
10099ex 436 . . 3  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
101100ex 436 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
102 2a1 29 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
103101, 102pm2.61ine 2738 1  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917   #chash 12516  Word cword 12654   cyclShift ccsh 12886   Primecprime 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-word 12662  df-concat 12664  df-substr 12666  df-reps 12669  df-csh 12887  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-phi 14707
This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  15061
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