MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cshwshashlem2 15060
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, V    i, W    ph, i    i, K

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  L ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
21eqcomd 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
32ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
54simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e. Word  V )
65adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  ->  W  e. Word  V )
76adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  ->  W  e. Word  V )
87adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  W  e. Word  V
)
9 elfzofz 11932 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1093ad2ant2 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1110adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
12 elfzofz 11932 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
13 fznn0sub2 11894 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
15143ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1615adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( # `  W )  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
17 elfzo0 11953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )
18 elfzoelz 11917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ZZ )
19 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  K  e.  RR )
21 nnre 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
22 nn0re 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
23 resubcl 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2421, 22, 23syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2524adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  RR )
2620, 25readdcld 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR )
2721adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
2827adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
2926, 28jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
3029ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) ) )
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
33323adant3 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3417, 33sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3534imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) )
36353adant3 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
37 fzonmapblen 11958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) )
38 ltle 9719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W )  ->  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  <_ 
( # `  W ) ) )
3936, 37, 38sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
4039adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
41 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
42 elfzelz 11797 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
43423ad2ant1 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
4443adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  ZZ )
45 elfzelz 11797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
46453ad2ant2 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
4746adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
48 2cshw 12907 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  (
( # `  W )  -  L ) ) ) )
508, 11, 16, 40, 49syl13anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
51123ad2ant1 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
52 elfzelz 11797 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
53 2cshwid 12908 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
5452, 53sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
557, 51, 54syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  W )
563, 50, 553eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =  W )
57 simplrl 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ph )
58 simplrr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) )
59 3simpa 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
6017, 59sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN ) )
61 nnz 10956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
62 nn0z 10957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
63 zsubcl 10976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6564anim2i 572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
6665ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
67 zaddcl 10974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6960, 18, 68syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
70693adant3 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
71 elfzo0 11953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) ) )
72 elnn0z 10947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
7319ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  RR )
74243adant3 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  RR )
7574adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
76 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <_  K )
77 posdif 10104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7822, 21, 77syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7978biimp3a 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( ( # `
 W )  -  L ) )
8173, 75, 76, 80addgegt0d 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
8281ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8372, 82sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
84833ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8571, 84sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN  /\  L  < 
( # `  W ) )  ->  0  <  ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) ) ) )
8685com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8717, 86sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
8887imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) ) )
89883adant3 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
90 elnnz 10944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  NN  <->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
9170, 89, 90sylanbrc 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  NN )
9217simp2bi 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
93923ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
94 elfzo1 11962 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) ) )
9591, 93, 37, 94syl3anbrc 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
9695adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
974cshwshashlem1 15059 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 )  /\  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9857, 58, 96, 97syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9956, 98pm2.21ddne 2707 . . . 4  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) )
10099ex 436 . . 3  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
101100ex 436 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
102 2a1 28 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
103101, 102pm2.61ine 2706 1  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   E.wrex 2737   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653   cyclShift ccsh 12885   Primecprime 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12661  df-concat 12663  df-substr 12665  df-reps 12668  df-csh 12886  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-phi 14707
This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  15061
  Copyright terms: Public domain W3C validator