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Theorem cshwshashlem2 14428
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, V    i, W    ph, i    i, K

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6282 . . . . . . . 8  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  L ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
21eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
32ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
54simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e. Word  V )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  ->  W  e. Word  V )
76adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  ->  W  e. Word  V )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  W  e. Word  V
)
9 elfzofz 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1093ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
12 elfzofz 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
13 fznn0sub2 11768 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
15143ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( # `  W )  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
17 elfzo0 11820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )
18 elfzoelz 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ZZ )
19 zre 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  K  e.  RR )
21 nnre 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
22 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
23 resubcl 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2421, 22, 23syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  RR )
2620, 25readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR )
2721adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
2926, 28jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) ) )
3118, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
33323adant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3417, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3534imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) )
36353adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
37 fzonmapblen 11825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) )
38 ltle 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W )  ->  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  <_ 
( # `  W ) ) )
3936, 37, 38sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
4039adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
41 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
42 elfzelz 11677 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
43423ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
4443adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  ZZ )
45 elfzelz 11677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
46453ad2ant2 1013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
4746adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
48 2cshw 12731 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  (
( # `  W )  -  L ) ) ) )
508, 11, 16, 40, 49syl13anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
51123ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
52 elfzelz 11677 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
53 2cshwid 12732 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
5452, 53sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
557, 51, 54syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  W )
563, 50, 553eqtr3d 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =  W )
57 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ph )
58 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) )
59 3simpa 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
6017, 59sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN ) )
61 nnz 10875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
62 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
63 zsubcl 10894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6564anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
67 zaddcl 10892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6960, 18, 68syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
70693adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
71 elfzo0 11820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) ) )
72 elnn0z 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
7319ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  RR )
74243adant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  RR )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
76 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <_  K )
77 posdif 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7822, 21, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7978biimp3a 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( ( # `
 W )  -  L ) )
8173, 75, 76, 80addgegt0d 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
8281ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8372, 82sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
84833ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8571, 84sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN  /\  L  < 
( # `  W ) )  ->  0  <  ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) ) ) )
8685com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8717, 86sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) ) )
89883adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
90 elnnz 10863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  NN  <->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
9170, 89, 90sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  NN )
9217simp2bi 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
93923ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
94 elfzo1 11828 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) ) )
9591, 93, 37, 94syl3anbrc 1175 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
9695adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
974cshwshashlem1 14427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 )  /\  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9857, 58, 96, 97syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9956, 98pm2.21ddne 2774 . . . 4  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) )
10099ex 434 . . 3  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
101100ex 434 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
102 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )
) )
103102a1d 25 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
104101, 103pm2.61ine 2773 1  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   cyclShift ccsh 12709   Primecprime 14065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-substr 12499  df-reps 12502  df-csh 12710  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-phi 14144
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