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Theorem cshwshashlem2 14121
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, V    i, W    ph, i    i, K

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  L ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
21eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
32ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  e.  Prime )
)
54simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e. Word  V )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  ->  W  e. Word  V )
76adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  ->  W  e. Word  V )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  W  e. Word  V
)
9 elfzofz 11565 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1093ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  K  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
12 elfzofz 11565 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
13 fznn0sub2 11486 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
15143ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( # `  W )  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
17 elfzo0 11585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )
18 elfzoelz 11551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  K  e.  ZZ )
19 zre 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  K  e.  RR )
21 nnre 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
22 nn0re 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
23 resubcl 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2421, 22, 23syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( # `
 W )  -  L )  e.  RR )
2620, 25readdcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR )
2721adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
2926, 28jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) ) )
3118, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
33323adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3417, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) ) )
3534imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  RR  /\  ( # `  W
)  e.  RR ) )
36353adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR ) )
37 fzonmapblen 11590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) )
38 ltle 9461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W )  ->  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  <_ 
( # `  W ) ) )
3936, 37, 38sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
4039adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )
41 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
42 elfzelz 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
43423ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  K  e.  ZZ )
4443adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  ZZ )
45 elfzelz 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
46453ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )
4746adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
48 2cshw 12445 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  K  e.  ZZ  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ZZ )  ->  (
( W cyclShift  K ) cyclShift  (
( # `  W )  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( K  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  (
( # `  W )  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  (
( # `  W )  -  L ) ) ) )
508, 11, 16, 40, 49syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  K ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
51123ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
52 elfzelz 11451 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
53 2cshwid 12446 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
5452, 53sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W
)  -  L ) )  =  W )
557, 51, 54syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( ( W cyclShift  L ) cyclShift  ( ( # `  W )  -  L
) )  =  W )
563, 50, 553eqtr3d 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =  W )
57 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ph )
58 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) )
59 3simpa 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN ) )
6017, 59sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN ) )
61 nnz 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
62 nn0z 10667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
63 zsubcl 10685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6461, 62, 63syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )
6564anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN ) )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ZZ  /\  ( (
# `  W )  -  L )  e.  ZZ ) )
67 zaddcl 10683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( ( # `  W
)  -  L )  e.  ZZ )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
6960, 18, 68syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
70693adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ZZ )
71 elfzo0 11585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) ) )
72 elnn0z 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
7319ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  ->  K  e.  RR )
74243adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  L )  e.  RR )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  W
)  -  L )  e.  RR )
76 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <_  K )
77 posdif 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7822, 21, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( L  <  ( # `
 W )  <->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) ) )
7978biimp3a 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( ( # `  W
)  -  L ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( ( # `
 W )  -  L ) )
8173, 75, 76, 80addgegt0d 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
8281ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8372, 82sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
84833ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  K  <  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8571, 84sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e.  NN  /\  L  < 
( # `  W ) )  ->  0  <  ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) ) ) )
8685com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  L  <  ( # `  W
) )  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) ) ) )
8717, 86sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  0  <  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) ) )
89883adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )
90 elnnz 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  NN  <->  ( ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) ) )
9170, 89, 90sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  NN )
9217simp2bi 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN )
93923ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
94 elfzo1 11593 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  +  ( (
# `  W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  <  ( # `  W ) ) )
9591, 93, 37, 94syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
9695adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( K  +  ( ( # `  W
)  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )
974cshwshashlem1 14120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 )  /\  ( K  +  ( ( # `
 W )  -  L ) )  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9857, 58, 96, 97syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  ( K  +  ( ( # `  W )  -  L
) ) )  =/= 
W )
9956, 98pm2.21ddne 2683 . . . 4  |-  ( ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  /\  ( L  e.  (
0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L ) )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) )
10099ex 434 . . 3  |-  ( ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  /\  ( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =/=  ( W `  0
) ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
101100ex 434 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
102 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( L  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  <  L )  -> 
( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )
) )
103102a1d 25 . 2  |-  ( ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K )  ->  (
( ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) ) )
104101, 103pm2.61ine 2685 1  |-  ( (
ph  /\  E. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =/=  ( W ` 
0 ) )  -> 
( ( L  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  K  <  L )  ->  ( W cyclShift  L )  =/=  ( W cyclShift  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   E.wrex 2714   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593   NNcn 10320   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ...cfz 11435  ..^cfzo 11546   #chash 12101  Word cword 12219   cyclShift ccsh 12423   Primecprime 13761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-mod 11707  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-substr 12231  df-reps 12234  df-csh 12424  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-dvds 13534  df-gcd 13689  df-prm 13762  df-phi 13839
This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  14122
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