Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlreslem 40907
 Description: Lemma for trlres 40908. Formerly part of proof of eupthres 41383. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlres.d (𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
trlres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
trlres.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
trlreslem (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem trlreslem
StepHypRef Expression
1 trlres.d . . . 4 (𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
2 trlres.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
32trlf1 40906 . . . 4 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
5 trlres.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
6 elfzouz2 12353 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
7 fzoss2 12365 . . . 4 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
9 f1ores 6064 . . 3 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
104, 8, 9syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁)))
11 trlres.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1311fveq2i 6106 . . . . 5 (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
14 trlis1wlk 40905 . . . . . . 7 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1521wlkf 40819 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
161, 14, 153syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
17 elfzofz 12354 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
185, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
19 1wlkreslem0 40877 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
2016, 18, 19syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
2113, 20syl5eq 2656 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
2221oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^𝑁))
23 wrdf 13165 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
24 fimass 5994 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
2515, 23, 243syl 18 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
261, 14, 253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼)
27 ssdmres 5340 . . . 4 ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ⊆ dom 𝐼 ↔ dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
2826, 27sylib 207 . . 3 (𝜑 → dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) = (𝐹 “ (0..^𝑁)))
2912, 22, 28f1oeq123d 6046 . 2 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)–1-1-onto→(𝐹 “ (0..^𝑁))))
3010, 29mpbird 246 1 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-1wlks 40800  df-trls 40901 This theorem is referenced by:  trlres  40908  eupthres  41383
 Copyright terms: Public domain W3C validator