Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdmi 17968
 Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdmi ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 17967 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
87adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
10 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
119, 10syl6eleq 2698 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz1 12219 . . . . . 6 (((#‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((#‘𝐹) − 1)))
141, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 17966 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
1514simp1bi 1069 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1716eldifad 3552 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
18 lencl 13179 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
19 nn0z 11277 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
20 fzoval 12340 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
2117, 18, 19, 204syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(#‘𝐹)) = (1...((#‘𝐹) − 1)))
2213, 21eleqtrrd 2691 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
23 fzoend 12425 . . . 4 (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
2514simp3bi 1071 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
2625adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
27 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
28 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑖 − 1) = (((#‘𝐹) − 1) − 1))
2928fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))
3029fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
3130rneqd 5274 . . . . 5 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
3227, 31eleq12d 2682 . . . 4 (𝑖 = ((#‘𝐹) − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
3332rspcv 3278 . . 3 (((#‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1)))))
3424, 26, 33sylc 63 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
358, 34eqeltrd 2688 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((#‘𝐹) − 1) − 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~FG cefg 17942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154 This theorem is referenced by:  efgs1b  17972  efgredlemg  17978  efgredlemd  17980  efgredlem  17983
 Copyright terms: Public domain W3C validator