Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemd 17980
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 17967 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
efgredlemd.9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgredlemd (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
3 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 17966 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐶‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐶))(𝐶𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐶‘(𝑖 − 1)))))
98simp1bi 1069 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ dom 𝑆𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1110eldifad 3552 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑊)
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
132, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 17966 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1413simp1bi 1069 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1615eldifad 3552 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
17 wrdf 13165 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
19 fzossfz 12357 . . . . . . . . 9 (0..^((#‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((#‘𝐴) − 1))
20 lencl 13179 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
23 fzoval 12340 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
2519, 24syl5sseqr 3617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((#‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐴)))
26 efgredlemb.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
27 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
28 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
29 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
30 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
312, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30efgredlema 17976 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
3231simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
33 fzo0end 12426 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
3526, 34syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
3625, 35sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
3718, 36ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
3837s1cld 13236 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝐴𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊)
39 eldifsn 4260 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝑊𝐶 ≠ ∅))
40 lennncl 13180 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ Word 𝑊𝐶 ≠ ∅) → (#‘𝐶) ∈ ℕ)
4139, 40sylbi 206 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐶) ∈ ℕ)
4210, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐶) ∈ ℕ)
43 lbfzo0 12375 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(#‘𝐶)) ↔ (#‘𝐶) ∈ ℕ)
4442, 43sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐶)))
45 ccatval1 13214 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
4611, 38, 44, 45syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
472, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 17966 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
4847simp1bi 1069 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
4928, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
5049eldifad 3552 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
51 wrdf 13165 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
53 fzossfz 12357 . . . . . . . . 9 (0..^((#‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((#‘𝐵) − 1))
54 lencl 13179 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
5550, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
57 fzoval 12340 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
5953, 58syl5sseqr 3617 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((#‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐵)))
60 efgredlemb.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
6131simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
62 fzo0end 12426 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
6460, 63syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
6559, 64sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(#‘𝐵)))
6652, 65ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
6766s1cld 13236 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝐵𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊)
68 ccatval1 13214 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
6911, 67, 44, 68syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
7046, 69eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
71 fviss 6166 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
722, 71eqsstri 3598 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
7372, 37sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
74 lencl 13179 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
7675nn0red 11229 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℝ)
77 2rp 11713 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
78 ltaddrp 11743 . . . . . 6 (((#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐴𝐾)) < ((#‘(𝐴𝐾)) + 2))
7976, 77, 78sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) < ((#‘(𝐴𝐾)) + 2))
8021nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
8180lem1d 10836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))
82 fznn 12278 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))))
8322, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))))
8432, 81, 83mpbir2and 959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)))
852, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 17974 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
8612, 84, 85syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
872, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 17967 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)))
89 1eluzge0 11608 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ (ℤ‘0)
90 fzss1 12251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴)))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴))
9291, 84sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴)))
93 swrd0val 13273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))
9416, 92, 93syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))
9594fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))
96 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = ((#‘𝐴) − 1))
9716, 92, 96syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = ((#‘𝐴) − 1))
9895, 97eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((#‘𝐴) − 1))
9998oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1))
10099, 26syl6eqr 2662 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1) = 𝐾)
101100fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘𝐾))
102 fvres 6117 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴𝐾))
10335, 102syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴𝐾))
10488, 101, 1033eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝐴𝐾))
105104fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) = (#‘(𝐴𝐾)))
1062, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 17968 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
10712, 32, 106syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
10826fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐾) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))
109108fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (𝑇‘(𝐴𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
110109rneqi 5273 . . . . . . 7 ran (𝑇‘(𝐴𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
111107, 110syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾)))
1122, 3, 4, 5efgtlen 17962 . . . . . 6 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾))) → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴𝐾)) + 2))
11337, 111, 112syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴𝐾)) + 2))
11479, 105, 1133brtr4d 4615 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)))
115 efgredlemb.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
116 efgredlemb.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
117 efgredlemb.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
118 efgredlemb.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
119 efgredlemb.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
120 efgredlemb.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
121 efgredlemb.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
122 efgredlemd.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
123 efgredlemd.sc . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
1242, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 1, 123efgredleme 17979 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
125124simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
1262, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 17973 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1271, 125, 126syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1282, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 17969 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) = (𝐴𝐾))
12911, 37, 127, 128syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) = (𝐴𝐾))
130104, 129eqtr4d 2647 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)))
131 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))
132131fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (#‘(𝑆𝑎)) = (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))))
133132breq1d 4593 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) ↔ (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴))))
134131eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
135 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0))
136135eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
137134, 136imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
138133, 137imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
139 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)))
140139eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩))))
141 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))
142141eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0)))
143140, 142imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
144143imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0)))))
145138, 144rspc2va 3294 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
14686, 127, 27, 145syl21anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
147114, 130, 146mp2d 47 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))
14872, 66sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
149 lencl 13179 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
150148, 149syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
151150nn0red 11229 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℝ)
152 ltaddrp 11743 . . . . . 6 (((#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐵𝐿)) < ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
153151, 77, 152sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) < ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
15455nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
155154lem1d 10836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))
156 fznn 12278 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))))
15756, 156syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))))
15861, 155, 157mpbir2and 959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)))
1592, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 17974 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
16028, 158, 159syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1612, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 17967 . . . . . . . 8 ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
162160, 161syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
163 fzss1 12251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵)))
16489, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵))
165164, 158sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵)))
166 swrd0val 13273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))
16750, 165, 166syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))
168167fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
169 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = ((#‘𝐵) − 1))
17050, 165, 169syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = ((#‘𝐵) − 1))
171168, 170eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((#‘𝐵) − 1))
172171oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((#‘𝐵) − 1) − 1))
173172, 60syl6eqr 2662 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1) = 𝐿)
174173fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘𝐿))
175 fvres 6117 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵𝐿))
17664, 175syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵𝐿))
177162, 174, 1763eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝐵𝐿))
178177fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) = (#‘(𝐵𝐿)))
1792, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 17968 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
18028, 61, 179syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
18129, 180eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
18260fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐿) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))
183182fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (𝑇‘(𝐵𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
184183rneqi 5273 . . . . . . 7 ran (𝑇‘(𝐵𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
185181, 184syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿)))
1862, 3, 4, 5efgtlen 17962 . . . . . 6 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿))) → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
18766, 185, 186syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐵𝐿)) + 2))
188153, 178, 1873brtr4d 4615 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)))
189124simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
1902, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 17973 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1911, 189, 190syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1922, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 17969 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) = (𝐵𝐿))
19311, 66, 191, 192syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) = (𝐵𝐿))
194177, 193eqtr4d 2647 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)))
195 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
196195fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (#‘(𝑆𝑎)) = (#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))))
197196breq1d 4593 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → ((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) ↔ (#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴))))
198195eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
199 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))
200199eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
201198, 200imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
202197, 201imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
203 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)))
204203eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩))))
205 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
206205eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0)))
207204, 206imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
208207imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0)))))
209202, 208rspc2va 3294 . . . . 5 ((((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
210160, 191, 27, 209syl21anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
211188, 194, 210mp2d 47 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
21270, 147, 2113eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))
213 lbfzo0 12375 . . . 4 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
21432, 213sylibr 223 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
215 fvres 6117 . . 3 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
216214, 215syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
217 lbfzo0 12375 . . . 4 (0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) ↔ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
21861, 217sylibr 223 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
219 fvres 6117 . . 3 (0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
220218, 219syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
221212, 216, 2203eqtr3d 2652 1 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~FG cefg 17942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444 This theorem is referenced by:  efgredlemc  17981
 Copyright terms: Public domain W3C validator