Theorem revrev 13367

Description: Reversion is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revrev	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revcl 13361	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2		revcl 13361	. . . 4 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3		wrdf 13165	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4		ffn 5958	. . . 4 ⊢ ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6		revlen 13362	. . . . . . 7 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (#‘(reverse‘𝑊)))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (#‘(reverse‘𝑊)))
8		revlen 13362	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑊)) = (#‘𝑊))
9	7, 8	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (#‘𝑊))
10	9	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(#‘𝑊)))
11	10	fneq2d 5896	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘𝑊))))
12	5, 11	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘𝑊)))
13		wrdfn 13174	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
14	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
15		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
16	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(reverse‘𝑊)) = (#‘𝑊))
17	16	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(#‘𝑊)))
18	15, 17	eleqtrrd 2691	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊))))
19		revfv 13363	. . . 4 ⊢ (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
20	14, 18, 19	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
21	16	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
22	21	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
23	22	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
24		lencl 13179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
26		fzoval 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
28	27	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))))
29	28	biimpa 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
30		fznn0sub2 12315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
32	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
33	31, 32	eleqtrrd 2691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
34		revfv 13363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
35	33, 34	syldan 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
36		peano2zm 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
37	25, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
39		elfzoelz 12339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
40	39	zcnd 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41		nncan 10189	. . . . . . 7 ⊢ ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
42	38, 40, 41	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
43	42	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊‘𝑥))
44	35, 43	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
45	23, 44	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘𝑥))
46	20, 45	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
47	12, 13, 46	eqfnfvd 6222	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  reversecreverse 13152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-reverse 13160

This theorem is referenced by:  efginvrel1  17964