Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 29755
 Description: Lemma for eulerpart 29771: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6102 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔𝑛) = (𝐴𝑛))
21breq1d 4593 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
32ralbidv 2969 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
53, 4elrab2 3333 . 2 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
6 2z 11286 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 fzoval 12340 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 − 1))
9 fzo0to2pr 12420 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 11012 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (0...(2 − 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2640 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2680 . . . . . 6 ((𝐴𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴𝑛) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 29752 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
1615simp1bi 1069 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1716ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℕ0)
18 1nn0 11185 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
20 df-3an 1033 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2119, 20bitri 263 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2221baib 942 . . . . . . 7 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2317, 18, 22sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2413, 23syl5rbb 272 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 2968 . . . 4 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
26 ffun 5961 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
2716, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑃 → Fun 𝐴)
28 fdm 5964 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
29 eqimss2 3621 . . . . . 6 (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
3016, 28, 293syl 18 . . . . 5 (𝐴𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
31 funimass4 6157 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3227, 30, 31syl2anc 691 . . . 4 (𝐴𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3325, 32bitr4d 270 . . 3 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
3433pm5.32i 667 . 2 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
355, 34bitri 263 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  Σcsu 14264   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  29770
 Copyright terms: Public domain W3C validator