redwlk - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > redwlk		Structured version Visualization version GIF version

Theorem redwlk 26136

Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
redwlk	⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkbprop 26051	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2		iswlk 26048	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
3	2	3adant1 1072	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
4		wrdf 13165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
6		fzossrbm1 12366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
8		fssres 5983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))):(0..^((#‘𝐹) − 1))⟶dom 𝐸)
9	7, 8	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))):(0..^((#‘𝐹) − 1))⟶dom 𝐸)
10		iswrdi 13164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))):(0..^((#‘𝐹) − 1))⟶dom 𝐸 → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸)
12	11	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸))
13	4, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸))
14	13	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸))
15	14	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸))
17		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
18		fzossfz 12357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
19		fssres 5983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉)
20	17, 18, 19	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉)
21	20	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉))
22		redwlklem 26135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
23		fzoval 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
24	5, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
26		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
27	26	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) = (0...((#‘𝐹) − 1)))
28	25, 27	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ₀) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
29	28	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))))
30	22, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))))
31	30	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ → ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))))
32	31	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))))
33	32	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → (0..^(#‘𝐹)) = (0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
34	33	feq2d 5944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0..^(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
35	21, 34	sylibd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉))
36	7	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
37		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
39		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
41	40	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
42	41	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
43	7	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
44		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
46	45	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘))
47		fzo0ss1 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
48		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)))
49	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
50		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
51		fzoaddel2 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
53	47, 52	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
54		fvres 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
56	55	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
57	46, 56	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
58	42, 57	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
59	58	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
60	59	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
61	60	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
62	38, 61	syld 46	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
64		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) = (0..^((#‘𝐹) − 1)))
65	64	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) = (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
66	65	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
68	63, 67	sylibd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) ∧ ((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
69	68	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})))
70	22, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})))
71	70	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}))
72	16, 35, 71	3anim123d 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹))) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})))
73	72	expimpd 627	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})))
74		resexg 5362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V)
75		resexg 5362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)
76	74, 75	anim12i 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V))
77	76	anim2i 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)))
78	77	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)))
79		iswlk 26048	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})))
80	79	bicomd 212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
81	78, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))(𝐸‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))}) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
82	73, 81	sylibd 228	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
83	82	expcomd 453	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
84	3, 83	sylbid 229	. . 3 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
85	1, 84	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
86	85	anabsi5 854	1 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(𝑉 Walks 𝐸)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ⊆ wss 3540 {cpr 4127 class class class wbr 4583 dom cdm 5038 ↾ cres 5040 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 Walks cwalk 26026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-wlk 26036

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator