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Theorem redwlk 23424
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
redwlk  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )

Proof of Theorem redwlk
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 23352 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2 iswlk 23345 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
323adant1 1001 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
4 wrdf 12236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
5 fzossrbm1 11574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
6 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E
)
75, 6sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) --> dom  E )
8 iswrdi 12235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
109ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1211com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
13123ad2ant1 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1413adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
15 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
16 fzossfz 11566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
17 fssres 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V )
1815, 16, 17sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V )
1918ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V ) )
20 redwlklem 23423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) )
21 nn0z 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
22 fzoval 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2423adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... (
( # `  F )  -  1 ) ) )
25 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2625oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
2724, 26eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
2827ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
2920, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
31303ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
3332feq2d 5544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V  <->  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3419, 33sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3553ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
36 ssralv 3413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
38 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3938adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
4039eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )
4140fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) ) )
425sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
43 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  k
)  =  ( P `
 k ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k )  =  ( P `  k ) )
4544eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) )
46 1nn0 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
47 elnn0uz 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
49 fzoss1 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )
51 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
5221adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
53 1zzd 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
54 fzoaddel2 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
) )
5650, 55sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
57 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 ( k  +  1 ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5958eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
6045, 59preq12d 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )
6141, 60eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
63623ad2antl1 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6463ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6537, 64syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6665adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
67 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
6867eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) )
6968raleqdv 2921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7069adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ( E `
 ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7166, 70sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7320, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7473impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7514, 34, 743anim123d 1291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7675expimpd 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
77 resexg 5146 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e.  _V )
78 resexg 5146 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  _V  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) )  e.  _V )
7977, 78anim12i 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )
8079anim2i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
81803adant1 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
82 iswlk 23345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
8382bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8481, 83syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8576, 84sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8685exp3acom23 1420 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) ) )
873, 86sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E ) P  /\  1  <_ 
( # `  F ) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) ) )
881, 87mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )
8988anabsi5 808 1  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   {cpr 3876   class class class wbr 4289   dom cdm 4836    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    <_ cle 9415    - cmin 9591   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544   #chash 12099  Word cword 12217   Walks cwalk 23324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-wlk 23334
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