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Theorem redwlk 23505
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
redwlk  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )

Proof of Theorem redwlk
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 23433 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2 iswlk 23426 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
323adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
4 wrdf 12240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
5 fzossrbm1 11578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
6 fssres 5578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E
)
75, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) --> dom  E )
8 iswrdi 12239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
109ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1211com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
13123ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
16 fzossfz 11570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
17 fssres 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V )
1918ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V ) )
20 redwlklem 23504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) )
21 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
22 fzoval 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... (
( # `  F )  -  1 ) ) )
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2625oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
2724, 26eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
2827ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
2920, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3029com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
31303ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
3332feq2d 5547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V  <->  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3419, 33sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3553ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
36 ssralv 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
38 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
4039eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )
4140fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) ) )
425sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
43 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  k
)  =  ( P `
 k ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k )  =  ( P `  k ) )
4544eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) )
46 1nn0 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
47 elnn0uz 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
49 fzoss1 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
5221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
53 1zzd 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
54 fzoaddel2 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
) )
5650, 55sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
57 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 ( k  +  1 ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5958eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
6045, 59preq12d 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )
6141, 60eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
63623ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6463ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6537, 64syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
67 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
6867eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) )
6968raleqdv 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ( E `
 ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7166, 70sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7320, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7473impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7514, 34, 743anim123d 1296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7675expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
77 resexg 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e.  _V )
78 resexg 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  _V  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) )  e.  _V )
7977, 78anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )
8079anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
81803adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
82 iswlk 23426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
8382bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8481, 83syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8576, 84sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8685expcomd 438 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) ) )
873, 86sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E ) P  /\  1  <_ 
( # `  F ) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) ) )
881, 87mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )
8988anabsi5 813 1  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   {cpr 3879   class class class wbr 4292   dom cdm 4840    |` cres 4842   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    <_ cle 9419    - cmin 9595   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   Walks cwalk 23405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
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