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Theorem redwlk 21559
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
redwlk  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )

Proof of Theorem redwlk
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 21487 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2 iswlk 21480 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
323adant1 975 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
4 wrdf 11688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
5 fzossrbm1 11119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
6 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E
)
75, 6sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) --> dom  E )
8 iswrdi 11686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
109ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
114, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1211com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
13123ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
15 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
16 fzossfz 11112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
17 fssres 5569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V )
1918ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V ) )
20 redwlklem 21558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) )
21 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
22 fzoval 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2423adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... (
( # `  F )  -  1 ) ) )
25 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2625oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
2724, 26eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
2827ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
2920, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3029com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
31303ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3231imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
3332feq2d 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V  <->  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3419, 33sylibd 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3553ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
36 ssralv 3367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
38 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
4039eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )
4140fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) ) )
425sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
43 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  k
)  =  ( P `
 k ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k )  =  ( P `  k ) )
4544eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) )
46 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
47 elnn0uz 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4846, 47mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
49 fzoss1 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
5221adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
53 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
55 fzoaddel2 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
5651, 52, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
) )
5750, 56sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
58 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 ( k  +  1 ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
6059eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
6145, 60preq12d 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )
6241, 61eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6362biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
64633ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6564ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6637, 65syld 42 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
68 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
6968eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) )
7069raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ( E `
 ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7267, 71sylibd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7372ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7420, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7574impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7614, 34, 753anim123d 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7776expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
78 resexg 5144 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e.  _V )
79 resexg 5144 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  _V  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) )  e.  _V )
8078, 79anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )
8180anim2i 553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
82813adant1 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
83 iswlk 21480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
8483bicomd 193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8582, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8677, 85sylibd 206 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8786exp3acom23 1378 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) ) )
883, 87sylbid 207 . . 3  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E ) P  /\  1  <_ 
( # `  F ) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) ) )
891, 88mpcom 34 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )
9089anabsi5 791 1  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172   dom cdm 4837    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   Walks cwalk 21459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-wlk 21469
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