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Theorem redwlk 24399
Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
redwlk  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )

Proof of Theorem redwlk
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 24314 . . 3  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
2 iswlk 24311 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
323adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P 
<->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) ) )
4 wrdf 12529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
5 nn0z 10897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( # `  F
)  e.  ZZ )
6 fzossrbm1 11832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
8 fssres 5756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  F )
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E
)
97, 8sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) --> dom  E )
10 iswrdi 12528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) : ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) --> dom  E  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E )
1211ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
134, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( ( # `  F
)  e.  NN0  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1413com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
15143ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
18 fzossfz 11824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
19 fssres 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  ( 0..^ ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V )
2120ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0..^ ( # `  F ) ) --> V ) )
22 redwlklem 24398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F )  -  1 ) )
23 fzoval 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
245, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... (
( # `  F )  -  1 ) ) )
26 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 ) )
2726oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0 ... ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
2825, 27eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( # `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3022, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( # `  F )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  e.  NN0  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
32313ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
3433feq2d 5723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> V  <->  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3521, 34sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V ) )
3673ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
37 ssralv 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
39 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
4140eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )
4241fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) ) )
437sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
44 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  k
)  =  ( P `
 k ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k )  =  ( P `  k ) )
4645eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) )
47 fzo0ss1 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ ( # `  F
) )  C_  (
0..^ ( # `  F
) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
495adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( # `
 F )  e.  ZZ )
50 1zzd 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
51 fzoaddel2 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  /\  ( # `  F )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
5248, 49, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
) )
5347, 52sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
54 fvres 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 ( k  +  1 ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5655eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
5746, 56preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )
5842, 57eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
5958biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
60593ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  -> 
( ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) `  k
) )  =  {
( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6160ralimdva 2875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6238, 61syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
64 oveq2 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
6564eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) )
6665raleqdv 3069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ( E `
 ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  k ) ,  ( ( P  |`  (
0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6863, 67sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  /\  ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  F
)  -  1 )  ->  ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  -> 
( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7022, 69syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7170impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) )
7216, 35, 713anim123d 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F
( V Walks  E ) P  /\  1  <_  ( # `
 F ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7372expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
74 resexg 5321 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e.  _V )
75 resexg 5321 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  _V  ->  ( P  |`  ( 0..^ (
# `  F )
) )  e.  _V )
7674, 75anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )
7776anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
78773adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) ) )
79 iswlk 24311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
8079bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. 
_V  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) : ( 0 ... ( # `
 ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8178, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) )  e. Word  dom  E  /\  ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) : ( 0 ... ( # `  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ) ) ( E `  ( ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) `  k ) )  =  { ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) `
 k ) ,  ( ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) `  ( k  +  1 ) ) } )  <-> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8273, 81sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ ( ( # `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) )
8382expcomd 438 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Walks 
E ) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) ) )
843, 83sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E ) P  /\  1  <_ 
( # `  F ) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ( V Walks  E
) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) ) ) )
851, 84mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) ) )
8685anabsi5 815 1  |-  ( ( F ( V Walks  E
) P  /\  1  <_  ( # `  F
) )  ->  ( F  |`  ( 0..^ ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ( V Walks 
E ) ( P  |`  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {cpr 4034   class class class wbr 4452   dom cdm 5004    |` cres 5006   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503    + caddc 9505    <_ cle 9639    - cmin 9815   NN0cn0 10805   ZZcz 10874   ...cfz 11682  ..^cfzo 11802   #chash 12383  Word cword 12510   Walks cwalk 24289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384  df-word 12518  df-wlk 24299
This theorem is referenced by: (None)
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