clwlkclwwlklem2a4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem clwlkclwwlklem2a4 41206

Description: Lemma 4 for clwlkclwwlklem2a 41207. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkclwwlklem2a4	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝑥,𝐸 𝑥,𝑉 𝑥,𝐼 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥) 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkclwwlklem2a4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)))
2		lencl 13179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
3		clwlkclwwlklem2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
4	3	clwlkisclwwlklem2fv2 26311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
5	2, 4	sylan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
6	1, 5	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
7	6	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
8	7	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
9	8	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
10	9	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
11	10	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12		f1f1orn 6061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
13	12	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
14	13	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
15		lsw 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
16	15	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
17		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
19		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
20		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
22		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 1) = 1
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
24	23	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = ((#‘𝑃) − 1))
25	21, 24	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
26	2, 17, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
28	27	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
29		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
30	29	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
32	28, 31	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
33	32	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
34	16, 33	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35	34	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
38	37	impcom 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
40	39	preq2d 4219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
41		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
42		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
43	42	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
44	41, 43	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
45	44	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
47	40, 46	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
48	47	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
49	48	biimpd 218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
50	49	impancom 455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
51	50	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
52		f1ocnvfv2 6433	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
53	14, 51, 52	syl2an2 871	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
54		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
55	54	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
56		1e2m1 11013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (2 − 1)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
58	57	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
59	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
60		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
61		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
63	58, 62	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
64	63	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
65	55, 64	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
66	65	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
67	16, 66	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
68	67	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
69	68	preq2d 4219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
71	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
72	70, 71	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
73	72	exp31 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
74	73	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
75	74	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
76	75	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
77	76	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
78	77	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
79	78	impcom 445	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
80	11, 53, 79	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
81		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
82		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
83	82, 22	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = 1)
84	83	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
85	84	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
86		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
87		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℂ
88	87	subidi 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 2) = 0
89	86, 88	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = 0)
90	89	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
91	90	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
92	85, 91	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
93		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
94	93	pm2.24d 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
95		fzo01 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0..^1) = {0}
96	94, 95	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
97	96	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
98	92, 97	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
99	98	adantld 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
100		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 2)
101		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
103		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
105		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
106	102, 104, 105	leltned 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) ↔ (#‘𝑃) ≠ 2))
107		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)))
108		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
109		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
110		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 2 ∈ ℤ
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
112	109, 111	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
114	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
115	114, 103	posdifd 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) ↔ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
116	115	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2))
117		elnnz 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
118	113, 116, 117	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
119	118	ad5ant24 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
120		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℤ)
121		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
122	109, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
123		zltlem1 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
124	120, 122, 123	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
125	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
126		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
127	125, 126, 126	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
128		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (1 + 1) = 2
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (1 + 1) = 2)
130	129	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
131	127, 130	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
132	131	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
133	124, 132	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
134		necom 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2))
135		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))
136	134, 135	bitr2i 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
137		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℝ)
138	137	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
139	103, 114	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
140	139	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
141		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
142		leltne 10006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
143	142	bicomd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
144	138, 140, 141, 143	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
145	144	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
146	136, 145	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
147	146	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
148	133, 147	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
149	148	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
150	149	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
152	151	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
153	108, 119, 152	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
154	153	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
155	154	exp41 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
156	155	com25 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
157	156	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
158	157	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
159	107, 158	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
160	159	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
161	160	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
162	161	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
163	106, 162	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
164	100, 163	syl5bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
165	164	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
166	165	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
167	166	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
168	99, 167	pm2.61i 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
169		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
170	168, 169	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))
171	81, 170	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
172	171	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
173	2, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
174	173	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
175	174	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
176	175	expd 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
177	176	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
178	177	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
179	178	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
180	179	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
181	180	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
182	3	clwlkisclwwlklem2fv1 26310	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
183	181, 182	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
184	183	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
185		simprr 792	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
186		f1ocnvfv2 6433	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
187	14, 185, 186	syl2an2 871	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
188	184, 187	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
189	80, 188	pm2.61ian 827	. 2 ⊢ ((((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
190	189	exp31 628	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ifcif 4036 {csn 4125 {cpr 4127 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ^◡ccnv 5037 dom cdm 5038 ran crn 5039 –1-1→wf1 5801 –1-1-onto→wf1o 5803 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155

This theorem is referenced by: clwlkclwwlklem2a 41207

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