Theorem clwlkisclwwlklem2fv1 26310

Description: Lemma 4a for clwlkisclwwlklem2a 26313. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkisclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkisclwwlklem2fv1	⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkisclwwlklem2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))
3		breq1 4586	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
4		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
5		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 + 1) = (𝐼 + 1))
6	5	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
7	4, 6	preq12d 4220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
8	7	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
9	4	preq1d 4218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})
10	9	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)}))
11	3, 8, 10	ifbieq12d 4063	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = if(𝐼 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})))
12		elfzolt2 12348	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
14	13	iftrued 4044	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → if(𝐼 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
15	11, 14	sylan9eqr 2666	. 2 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
16		nn0z 11277	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
17		2z 11286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
19	16, 18	zsubcld 11363	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
20		peano2zm 11297	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
21	16, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
22		1red 9934	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
23		2re 10967	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
25		nn0re 11178	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
26		1le2 11118	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 2
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
28	22, 24, 25, 27	lesub2dd 10523	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ≤ ((#‘𝑃) − 1))
29		eluz2 11569	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑃) − 2)) ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ≤ ((#‘𝑃) − 1)))
30	19, 21, 28, 29	syl3anbrc 1239	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑃) − 2)))
31		fzoss2 12365	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑃) − 2)) → (0..^((#‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝑃) − 2)) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
33	32	sselda 3568	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
34		fvex 6113	. . 3 ⊢ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V
35	34	a1i 11	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
36	2, 15, 33, 35	fvmptd 6197	1 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a4  26312  clwlkclwwlklem2a4  41206