Theorem clwlkisclwwlklem2a2 26308

Description: Lemma 3 for clwlkisclwwlklem2a 26313. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwlkisclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

Assertion

Ref	Expression
clwlkisclwwlklem2a2	⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13179	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
2		nn0z 11277	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
4		0red 9920	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ∈ ℝ)
5		2re 10967	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
7		nn0re 11178	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
9		2pos 10989	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 < 2)
11		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
12	4, 6, 8, 10, 11	ltletrd 10076	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 < (#‘𝑃))
13		elnnz 11264	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑃)))
14	3, 12, 13	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
15	1, 14	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
16		nnm1nn0 11211	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
18		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) ∈ V
19		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}) ∈ V
20	18, 19	ifex 4106	. . 3 ⊢ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})) ∈ V
21		clwlkisclwwlklem2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
22	20, 21	fnmpti 5935	. 2 ⊢ 𝐹 Fn (0..^((#‘𝑃) − 1))
23		ffzo0hash 13090	. 2 ⊢ ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
24	17, 22, 23	sylancl 693	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154

This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a3  26309  clwlkisclwwlklem2a  26313  clwlkclwwlklem2a3  41203  clwlkclwwlklem2a  41207