clwlkisclwwlklem2a4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwlkisclwwlklem2a4 26312

Description: Lemma 4 for clwlkisclwwlklem2a 26313. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwlkisclwwlklem2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))

**Assertion**
Ref	Expression
clwlkisclwwlklem2a4	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐸 𝑥,𝐼 𝑥,𝑃 𝑥,𝑉 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑥)

**Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)))
2		lencl 13179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
3		clwlkisclwwlklem2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
4	3	clwlkisclwwlklem2fv2 26311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
5	2, 4	sylan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
6	1, 5	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
7	6	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
8	7	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
9	8	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
10	9	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
11	10	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})))
12		usgraf1o 25887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
13	12	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
14	13	ad2antrr 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
16		lsw 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
17	16	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)))
18		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
20		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
21		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
23		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 1) = 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
25	24	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = ((#‘𝑃) − 1))
26	22, 25	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℂ → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
27	2, 18, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (((#‘𝑃) − 2) + 1) = ((#‘𝑃) − 1))
29	28	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
30		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
31	30	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → ((𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1))))
33	29, 32	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
34	33	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
35	17, 34	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
36	35	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0)))
39	38	impcom 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)) = (𝑃‘0))
41	40	preq2d 4219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
42		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
43		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 + 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
44	43	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
45	42, 44	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
46	45	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
48	41, 47	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
49	48	eleq1d 2672	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
50	49	biimpd 218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
51	50	impancom 455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
52	51	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)
53		f1ocnvfv2 6433	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
54	15, 52, 53	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})) = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
55		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
56	55	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
57		1e2m1 11013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (2 − 1)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 = (2 − 1))
59	58	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = ((#‘𝑃) − (2 − 1)))
60	2, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
61		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 2 ∈ ℂ)
62		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
63	60, 61, 62	subsubd 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − (2 − 1)) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
64	59, 63	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) − 1) = (((#‘𝑃) − 2) + 1))
65	64	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
66	56, 65	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
67	66	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((𝑃‘((#‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
68	17, 67	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))))
69	68	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1)))
70	69	preq2d 4219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
72	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘(((#‘𝑃) − 2) + 1))})
73	71, 72	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0)) ∧ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
74	73	exp31 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
75	74	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
76	75	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
78	77	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
79	78	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
80	79	impcom 445	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
81	11, 54, 80	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
82		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (#‘𝑃) ∈ ℕ₀)
83		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = (2 − 1))
84	83, 23	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 1) = 1)
85	84	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) = (0..^1))
86	85	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^1)))
87		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = (2 − 2))
88		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℂ
89	88	subidi 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 − 2) = 0
90	87, 89	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((#‘𝑃) − 2) = 0)
91	90	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ 𝐼 = 0))
92	91	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = 0))
93	86, 92	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0)))
94		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → 𝐼 = 0)
95	94	pm2.24d 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐼 ∈ {0} → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
96		fzo01 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0..^1) = {0}
97	95, 96	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^1) → (¬ 𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
98	97	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^1) ∧ ¬ 𝐼 = 0) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
99	93, 98	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
100	99	adantld 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
101		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑃) ≠ 2 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 2)
102		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℝ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
104		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
106		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
107	103, 105, 106	leltned 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) ↔ (#‘𝑃) ≠ 2))
108		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)))
109		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 ∈ ℕ₀)
110		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
111		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ 2 ∈ ℤ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℤ)
113	110, 112	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
115	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → 2 ∈ ℝ)
116	115, 104	posdifd 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) ↔ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
117	116	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → 0 < ((#‘𝑃) − 2))
118		elnnz 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((#‘𝑃) − 2)))
119	114, 117, 118	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
120	119	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
121	120	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ))
122	121	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ)
124		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℤ)
125		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
126	110, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
127		zltlem1 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
128	124, 126, 127	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1)))
129	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (#‘𝑃) ∈ ℂ)
130		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → 1 ∈ ℂ)
131	129, 130, 130	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − (1 + 1)))
132		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (1 + 1) = 2
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (1 + 1) = 2)
134	133	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑃) − (1 + 1)) = ((#‘𝑃) − 2))
135	131, 134	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (((#‘𝑃) − 1) − 1) = ((#‘𝑃) − 2))
136	135	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ (((#‘𝑃) − 1) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
137	128, 136	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
138		necom 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2))
139		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐼 ≠ ((#‘𝑃) − 2) ↔ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))
140	138, 139	bitr2i 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼)
141		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → 𝐼 ∈ ℝ)
142	141	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ∈ ℝ)
143	104, 115	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
144	143	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
145		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
146		leltne 10006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 2) ↔ ((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼))
147	146	bicomd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
148	142, 144, 145, 147	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 ↔ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
149	148	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (((#‘𝑃) − 2) ≠ 𝐼 → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
150	140, 149	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
151	150	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 ≤ ((#‘𝑃) − 2) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
152	137, 151	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
153	152	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
154	153	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
156	155	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))
157	109, 123, 156	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
158	157	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) ∧ 2 < (#‘𝑃)) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
159	158	exp41 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
160	159	com25 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ₀ → (𝐼 < ((#‘𝑃) − 1) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))))
161	160	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
162	161	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
163	108, 162	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))))
164	163	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (2 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
165	164	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
166	165	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (2 < (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
167	107, 166	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ≠ 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
168	101, 167	syl5bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
169	168	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))))
170	169	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (¬ (#‘𝑃) = 2 → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
171	170	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (#‘𝑃) = 2 → ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2))))
172	100, 171	pm2.61i 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
173		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ₀ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < ((#‘𝑃) − 2)))
174	172, 173	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))
175	82, 174	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2))) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
176	175	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
177	2, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑃) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
178	177	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
179	178	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∧ ¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
180	179	expd 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
181	180	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
182	181	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))))
183	182	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
184	183	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2)))))
185	184	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))))
186	3	clwlkisclwwlklem2fv1 26310	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 2))) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
187	185, 186	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐹‘𝐼) = (^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
188	187	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))
189	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸)
190		simprr 792	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)
191		f1ocnvfv2 6433	. . . . 5 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
192	189, 190, 191	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(^◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
193	188, 192	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = ((#‘𝑃) − 2) ∧ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
194	81, 193	pm2.61ian 827	. 2 ⊢ ((((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ (( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))) ∧ {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
195	194	exp31 628	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹‘𝐼)) = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ifcif 4036 {csn 4125 {cpr 4127 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ^◡ccnv 5037 dom cdm 5038 ran crn 5039 –1-1-onto→wf1o 5803 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 USGrph cusg 25859

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-usgra 25862

This theorem is referenced by: clwlkisclwwlklem2a 26313

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